Номер 3, страница 220 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 7. Световые волны. Параграф 58. Дифракционная решётка. Образцы заданий ЕГЭ - номер 3, страница 220.

Условие.

3. На дифракционную решётку с периодом 0,0066 мм падает по нормали плоская монохроматическая волна. Длина волны 550 нм. Какое максимальное количество дифракционных максимумов можно наблюдать с помощью этой решётки для данной световой волны?

1) 11

2) 24

3) 3

4) 22

Решение.

Решение 2.

Дано:

Период дифракционной решётки $d = 0,0066 \text{ мм}$

Длина волны света $\lambda = 550 \text{ нм}$

Переведём данные в систему СИ:

$d = 0,0066 \text{ мм} = 0,0066 \times 10^{-3} \text{ м} = 6,6 \times 10^{-6} \text{ м}$

$\lambda = 550 \text{ нм} = 550 \times 10^{-9} \text{ м} = 5,5 \times 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

$N$ — максимальное количество дифракционных максимумов.

Решение:

Условие наблюдения дифракционных максимумов при нормальном падении света на решётку определяется формулой:

$d \sin\theta_k = k\lambda$

где $d$ — период решётки, $\theta_k$ — угол, под которым наблюдается максимум $k$-го порядка, $\lambda$ — длина волны, $k$ — порядок максимума, который может принимать целые значения ($k = 0, \pm1, \pm2, \dots$).

Максимумы можно наблюдать только в том случае, если для угла дифракции $\theta_k$ существует реальное значение. Это накладывает ограничение на синус угла:

$|\sin\theta_k| \le 1$

Из формулы дифракционной решётки выразим $\sin\theta_k$:

$\sin\theta_k = \frac{k\lambda}{d}$

Подставив это выражение в условие существования, получим:

$\left|\frac{k\lambda}{d}\right| \le 1 \quad \implies \quad |k| \le \frac{d}{\lambda}$

Это неравенство позволяет найти максимальный возможный порядок максимума $k_{max}$. Вычислим значение дроби $\frac{d}{\lambda}$:

$\frac{d}{\lambda} = \frac{6,6 \times 10^{-6} \text{ м}}{5,5 \times 10^{-7} \text{ м}} = \frac{66 \times 10^{-7} \text{ м}}{5,5 \times 10^{-7} \text{ м}} = \frac{66}{5,5} = 12$

Таким образом, условие для порядка максимума принимает вид:

$|k| \le 12$

Поскольку $k$ является целым числом, максимальный порядок $k_{max}$ равен 12. Это означает, что наблюдаются максимумы со следующими порядками:

$k = -12, -11, \dots, -1, 0, 1, \dots, 11, 12$

Общее число максимумов складывается из:

• одного центрального максимума (при $k=0$);
• 12 максимумов справа от центра (положительные порядки от 1 до 12);
• 12 максимумов слева от центра (отрицательные порядки от -1 до -12).

Полное число наблюдаемых максимумов равно: $N_{полное} = 12 (\text{справа}) + 12 (\text{слева}) + 1 (\text{центр}) = 25$.

В некоторых случаях под "количеством дифракционных максимумов" подразумевают только боковые максимумы (т.е. все, кроме центрального, $k=0$), так как центральный максимум соответствует недифрагировавшему свету. В этом случае их количество будет:

$N = 2 \times k_{max} = 2 \times 12 = 24$

Этот результат соответствует одному из предложенных вариантов ответа.

Ответ: 24