Номер 4, страница 224 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Точка мыльного пузыря, ближайшая к наблюдателю, кажется ему зеленой ($\lambda = 540 \text{ нм}$). Определите минимальную толщину мыльной пленки. Показатель преломления мыльной пленки $n = 1,35$.

Дано:

Найти:

Решение:

Наблюдаемый цвет мыльного пузыря обусловлен явлением интерференции света. Световые лучи отражаются от двух поверхностей мыльной пленки: внешней (воздух-пленка) и внутренней (пленка-воздух). Эти два отраженных луча когерентны и, накладываясь друг на друга, интерферируют.

То, что наблюдатель видит пузырь зеленым, означает, что для света с длиной волны $\lambda = 540 \text{ нм}$ выполняется условие интерференционного максимума (конструктивной интерференции).

Рассмотрим оптическую разность хода $\Delta$ между двумя лучами.

1. Луч, отражающийся от внешней поверхности пленки (граница воздух-пленка, где показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$, а пленки $n = 1,35$), переходит из оптически менее плотной среды в более плотную ($n_{возд} < n$). При таком отражении фаза волны меняется на $\pi$, что эквивалентно потере полуволны, то есть добавочной разности хода в $\lambda/2$.

2. Луч, прошедший сквозь пленку, отражается от ее внутренней поверхности (граница пленка-воздух). В этом случае отражение происходит от оптически менее плотной среды ($n > n_{возд}$), и фаза волны не меняется.

Этот второй луч проходит дополнительное расстояние в пленке. Так как мы рассматриваем точку, ближайшую к наблюдателю, свет падает на пленку практически перпендикулярно. В этом случае путь луча внутри пленки равен удвоенной толщине пленки $2h$. Оптический путь, соответствующий этому расстоянию, равен $2nh$.

Таким образом, общая оптическая разность хода между двумя лучами равна: $ \Delta = 2nh + \frac{\lambda}{2} $

Условие максимума (конструктивной) интерференции имеет вид: $ \Delta = m\lambda $, где $m$ – целое число ($m = 1, 2, 3, ...$), называемое порядком максимума.

Приравниваем два выражения для $\Delta$: $ 2nh + \frac{\lambda}{2} = m\lambda $

Выразим из этой формулы толщину пленки $h$: $ 2nh = m\lambda - \frac{\lambda}{2} $ $ 2nh = (m - \frac{1}{2})\lambda $ $ h = \frac{(m - \frac{1}{2})\lambda}{2n} $

Нам необходимо найти минимальную толщину пленки $h_{min}$. Минимальная толщина будет соответствовать наименьшему возможному значению порядка максимума $m$. Так как толщина $h$ должна быть положительной величиной, наименьшее целое значение $m$, при котором скобка $(m - 1/2)$ положительна, это $m = 1$.

Подставим $m = 1$ в формулу для толщины: $ h_{min} = \frac{(1 - \frac{1}{2})\lambda}{2n} = \frac{\frac{1}{2}\lambda}{2n} = \frac{\lambda}{4n} $

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет: $ h_{min} = \frac{540 \times 10^{-9}}{4 \times 1,35} = \frac{540 \times 10^{-9}}{5,4} = 100 \times 10^{-9} \text{ м} $

Результат можно представить в нанометрах: $100 \times 10^{-9} \text{ м} = 100 \text{ нм}$.

Ответ: минимальная толщина мыльной пленки равна 100 нм.