Номер 3, страница 224 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Рис. 7.62

3. Две щели находятся на расстоянии 0,2 мм друг от друга и отстоят на расстоянии 1,5 м от экрана. На щели падает поток монохроматического света ($ \lambda = 500 \text{ нм} $) от удалённого источника. Определите расстояние между соседними интерференционными полосами.

Дано:

Расстояние между щелями, $d = 0,2 \text{ мм}$
Расстояние от щелей до экрана, $L = 1,5 \text{ м}$
Длина волны монохроматического света, $\lambda = 500 \text{ нм}$

$d = 0,2 \times 10^{-3} \text{ м} = 2 \times 10^{-4} \text{ м}$
$L = 1,5 \text{ м}$
$\lambda = 500 \times 10^{-9} \text{ м} = 5 \times 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Расстояние между соседними интерференционными полосами, $\Delta x - ?$

Решение:

Задача описывает классический опыт Юнга по интерференции света от двух щелей. Расстояние между соседними светлыми (или темными) интерференционными полосами, называемое также шириной интерференционной полосы, можно найти, используя условие для интерференционных максимумов.

Положение $m$-го интерференционного максимума (яркой полосы) на экране определяется из условия, что разность хода лучей от двух щелей равна целому числу длин волн: $d \sin\theta_m = m\lambda$ где $d$ — расстояние между щелями, $\theta_m$ — угол, под которым наблюдается $m$-й максимум, $\lambda$ — длина волны света, $m$ — целое число, называемое порядком максимума ($m = 0, \pm1, \pm2, \dots$).

Поскольку расстояние до экрана $L$ значительно больше расстояния между щелями $d$ ($1,5 \text{ м} \gg 0,2 \text{ мм}$), угол $\theta_m$ мал. Для малых углов справедливо приближение: $\sin\theta_m \approx \tan\theta_m = \frac{x_m}{L}$ где $x_m$ — расстояние от центрального максимума ($m=0$) до $m$-го максимума на экране.

Подставив это приближение в условие максимума, получим: $d \frac{x_m}{L} \approx m\lambda$

Отсюда можно выразить координату $m$-го максимума: $x_m = \frac{m\lambda L}{d}$

Расстояние между соседними интерференционными полосами $\Delta x$ — это разность координат двух соседних максимумов, например, $(m+1)$-го и $m$-го: $\Delta x = x_{m+1} - x_m = \frac{(m+1)\lambda L}{d} - \frac{m\lambda L}{d} = \frac{\lambda L(m+1-m)}{d} = \frac{\lambda L}{d}$

Теперь подставим данные из условия задачи в полученную формулу: $\Delta x = \frac{5 \times 10^{-7} \text{ м} \times 1,5 \text{ м}}{2 \times 10^{-4} \text{ м}}$

$\Delta x = \frac{7,5 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}} \text{ м} = 3,75 \times 10^{-3} \text{ м}$

Результат удобно выразить в миллиметрах: $3,75 \times 10^{-3} \text{ м} = 3,75 \text{ мм}$

Ответ: расстояние между соседними интерференционными полосами составляет $3,75 \text{ мм}$.