Номер 2, страница 224 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. На дифракционную решётку, имеющую период $2 \cdot 10^{-5}$ м, падает нормально параллельный пучок белого света. Спектр наблюдается на экране на расстоянии 2 м от решётки. Чему равно расстояние между красным и фиолетовым участками спектра первого порядка (первой цветной полоски на экране), если длины волн красного и фиолетового света соответственно равны $8 \cdot 10^{-7}$ и $4 \cdot 10^{-7}$ м? Считайте $\sin \varphi = \operatorname{tg} \varphi$.

Дано:

Период дифракционной решётки: $d = 2 \cdot 10^{-5}$ м

Расстояние от решётки до экрана: $L = 2$ м

Порядок спектра: $k = 1$

Длина волны красного света: $\lambda_к = 8 \cdot 10^{-7}$ м

Длина волны фиолетового света: $\lambda_ф = 4 \cdot 10^{-7}$ м

Приближение для малых углов: $\sin\varphi \approx \text{tg}\varphi$

Найти:

Расстояние между красным и фиолетовым участками спектра на экране: $\Delta x$

Решение:

Условие для наблюдения дифракционного максимума света, падающего нормально на решётку, описывается формулой:

$d \sin\varphi = k \lambda$

где $d$ — период решётки, $\varphi$ — угол дифракции, $k$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.

Из этой формулы можно выразить синус угла дифракции:

$\sin\varphi = \frac{k \lambda}{d}$

С другой стороны, из геометрии установки (рассматривая прямоугольный треугольник, где катетами являются расстояние до экрана $L$ и смещение максимума на экране $x$ от центра), тангенс угла дифракции равен:

$\text{tg}\varphi = \frac{x}{L}$

По условию задачи, для малых углов дифракции можно считать, что $\sin\varphi \approx \text{tg}\varphi$. Приравнивая правые части двух предыдущих выражений, получаем:

$\frac{k \lambda}{d} \approx \frac{x}{L}$

Отсюда можно найти положение максимума $k$-го порядка на экране:

$x = \frac{k \lambda L}{d}$

Теперь вычислим положения для красного и фиолетового участков спектра первого порядка ($k=1$).

Положение красной линии ($x_к$):

$x_к = \frac{1 \cdot \lambda_к \cdot L}{d} = \frac{\lambda_к L}{d}$

Положение фиолетовой линии ($x_ф$):

$x_ф = \frac{1 \cdot \lambda_ф \cdot L}{d} = \frac{\lambda_ф L}{d}$

Искомое расстояние между этими линиями на экране $\Delta x$ равно разности их положений:

$\Delta x = x_к - x_ф = \frac{\lambda_к L}{d} - \frac{\lambda_ф L}{d} = \frac{L}{d}(\lambda_к - \lambda_ф)$

Подставим числовые значения:

$\Delta x = \frac{2 \text{ м}}{2 \cdot 10^{-5} \text{ м}} (8 \cdot 10^{-7} \text{ м} - 4 \cdot 10^{-7} \text{ м})$

$\Delta x = 10^5 \cdot (4 \cdot 10^{-7}) \text{ м} = 4 \cdot 10^{5-7} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$\Delta x = 0.04$ м

Ответ: расстояние между красным и фиолетовым участками спектра первого порядка равно $0.04$ м.