Номер 1, страница 224 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения

1. Два когерентных источника $S_1$ и $S_2$ испускают свет длиной волны $\lambda = 5 \cdot 10^{-7}$ м. Источники находятся на расстоянии $d = 0,3$ см друг от друга. Экран расположен на расстоянии 9 м от источников. Что будет наблюдаться в точке А экрана (рис. 7.62): светлое пятно или тёмное?

Дано:

Длина волны света, $ \lambda = 5 \cdot 10^{-7} $ м
Расстояние между источниками, $ d = 0,3 $ см
Расстояние от источников до экрана, $ L = 9 $ м

Перевод в систему СИ:
$ d = 0,3 \text{ см} = 0,003 \text{ м} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м} $

Найти:

Что будет наблюдаться в точке А: светлое или тёмное пятно?

Решение:

Для определения того, что будет наблюдаться в точке А (интерференционный максимум или минимум), необходимо найти разность хода $ \Delta r $ лучей, приходящих в эту точку от источников $ S_1 $ и $ S_2 $, и сравнить ее с длиной волны $ \lambda $.

Условие максимума (светлое пятно): разность хода равна целому числу длин волн.
$ \Delta r = k \lambda $, где $ k = 0, 1, 2, ... $

Условие минимума (тёмное пятно): разность хода равна полуцелому числу длин волн.
$ \Delta r = (2k + 1) \frac{\lambda}{2} $, где $ k = 0, 1, 2, ... $

Хотя в условии задачи отсутствует рисунок 7.62, в стандартных задачах такого типа точка А располагается на экране напротив одного из источников. Предположим, что точка А на экране находится на одной прямой с источником $ S_2 $, перпендикулярной плоскости, в которой лежат источники. Обозначим расстояние от источника $ S_1 $ до точки А как $ r_1 $, а от источника $ S_2 $ до точки А как $ r_2 $.

В этом случае расстояние от источника $ S_2 $ до точки А равно расстоянию от источников до экрана:
$ r_2 = L $

Расстояние от источника $ S_1 $ до точки А можно найти по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние между источниками $ d $ и расстояние до экрана $ L $, а гипотенузой — искомое расстояние $ r_1 $.
$ r_1 = \sqrt{L^2 + d^2} $

Теперь найдем разность хода $ \Delta r $:
$ \Delta r = r_1 - r_2 = \sqrt{L^2 + d^2} - L $

Поскольку расстояние до экрана $ L $ значительно больше расстояния между источниками $ d $ ($L \gg d$), можно воспользоваться приближенной формулой, получаемой из разложения в ряд Тейлора (биномиальное приближение):
$ \sqrt{L^2 + d^2} = L \sqrt{1 + \frac{d^2}{L^2}} \approx L(1 + \frac{1}{2}\frac{d^2}{L^2}) = L + \frac{d^2}{2L} $

Тогда разность хода равна:
$ \Delta r \approx (L + \frac{d^2}{2L}) - L = \frac{d^2}{2L} $

Подставим числовые значения:
$ \Delta r = \frac{(3 \cdot 10^{-3})^2}{2 \cdot 9} = \frac{9 \cdot 10^{-6}}{18} = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м} $

Теперь сравним полученную разность хода с длиной волны $ \lambda $:
$ \Delta r = 5 \cdot 10^{-7} $ м
$ \lambda = 5 \cdot 10^{-7} $ м

Мы получили, что $ \Delta r = \lambda $. Это соответствует условию максимума интерференции при $ k = 1 $.
Следовательно, в точке А будет наблюдаться усиление света.

Ответ: в точке А экрана будет наблюдаться светлое пятно (первый интерференционный максимум).