Номер 7.51, страница 151 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Отражение света. Плоское зеркало - номер 7.51, страница 151.

Условие.

7.51*. Используя принцип Ферма, получите закон отражения света от плоской границы раздела двух сред.

Решение.

Решение

Принцип Ферма утверждает, что световой луч, распространяясь из одной точки в другую, выбирает путь, для прохождения которого требуется минимальное время (в более общей формулировке — экстремальное время).

Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред, которая является отражающей поверхностью. Пусть луч света выходит из точки A, отражается от поверхности в точке P и попадает в точку B. Точки A и B находятся в одной и той же среде, где свет распространяется с постоянной скоростью $\text{v}$.

Для нахождения пути, соответствующего минимальному времени, введем систему координат. Пусть отражающая поверхность совпадает с плоскостью $\text{xy}$. Чтобы доказать, что падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с нормалью, выберем оси так, чтобы точки A и B лежали в плоскости $\text{xz}$. Тогда их координаты будут $A(x_A, 0, z_A)$ и $B(x_B, 0, z_B)$, где $z_A > 0$ и $z_B > 0$. Точка отражения P на поверхности будет иметь координаты $P(x, y, 0)$.

Расстояние, которое проходит свет, равно сумме длин отрезков AP и PB:

$L(x, y) = AP + PB = \sqrt{(x - x_A)^2 + y^2 + z_A^2} + \sqrt{(x_B - x)^2 + y^2 + z_B^2}$

Время, затраченное на прохождение этого пути, равно:

$t(x, y) = \frac{L(x, y)}{v} = \frac{1}{v} \left( \sqrt{(x - x_A)^2 + y^2 + z_A^2} + \sqrt{(x_B - x)^2 + y^2 + z_B^2} \right)$

Согласно принципу Ферма, для действительного пути время должно быть минимальным. Для этого необходимо, чтобы частные производные времени по координатам $\text{x}$ и $\text{y}$ были равны нулю:

$\frac{\partial t}{\partial x} = 0$ и $\frac{\partial t}{\partial y} = 0$

Найдем производную по $\text{y}$:

$\frac{\partial t}{\partial y} = \frac{1}{v} \left( \frac{y}{\sqrt{(x - x_A)^2 + y^2 + z_A^2}} + \frac{y}{\sqrt{(x_B - x)^2 + y^2 + z_B^2}} \right) = 0$

Поскольку все слагаемые под корнями и сами корни являются положительными величинами, это равенство выполняется только при $y = 0$. Это означает, что точка отражения P лежит в той же плоскости $\text{xz}$, что и точки A и B. Таким образом, падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности в точке падения лежат в одной плоскости (первая часть закона отражения).

Теперь, зная, что $y=0$, найдем производную по $\text{x}$:

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v} \left( \frac{d}{dx}\sqrt{(x - x_A)^2 + z_A^2} + \frac{d}{dx}\sqrt{(x_B - x)^2 + z_B^2} \right) = 0$

$\frac{d t}{d x} = \frac{1}{v} \left( \frac{x - x_A}{\sqrt{(x - x_A)^2 + z_A^2}} + \frac{-(x_B - x)}{\sqrt{(x_B - x)^2 + z_B^2}} \right) = 0$

Отсюда следует:

$\frac{x - x_A}{\sqrt{(x - x_A)^2 + z_A^2}} = \frac{x_B - x}{\sqrt{(x_B - x)^2 + z_B^2}}$

Рассмотрим геометрический смысл этих выражений. Пусть $\alpha$ — угол падения (угол между падающим лучом AP и нормалью к поверхности, т.е. осью $\text{z}$), а $\beta$ — угол отражения (угол между отраженным лучом PB и нормалью).

Из геометрии видно, что синусы этих углов равны:

$\sin \alpha = \frac{|x - x_A|}{AP} = \frac{|x - x_A|}{\sqrt{(x - x_A)^2 + z_A^2}}$

$\sin \beta = \frac{|x_B - x|}{PB} = \frac{|x_B - x|}{\sqrt{(x_B - x)^2 + z_B^2}}$

Если мы предположим, что точка P лежит между проекциями точек A и B на ось $\text{x}$, то $x-x_A$ и $x_B-x$ будут иметь одинаковый знак (если оси направить соответствующим образом) или мы можем взять абсолютные значения, которые соответствуют синусам. Уравнение, полученное из производной, эквивалентно равенству:

$\sin \alpha = \sin \beta$

Поскольку углы падения и отражения находятся в диапазоне от $\text{0}$ до $90^{\circ}$, из равенства их синусов следует равенство самих углов:

$\alpha = \beta$

Это вторая часть закона отражения: угол падения равен углу отражения.

Таким образом, из принципа Ферма следуют оба положения закона отражения света.

Ответ:

Используя принцип Ферма, мы получаем закон отражения света, который гласит:

1. Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр (нормаль), восстановленный в точке падения луча к поверхности раздела двух сред, лежат в одной плоскости.

2. Угол падения $\alpha$ равен углу отражения $\beta$: $\alpha = \beta$.