Номер 7.45, страница 150 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Прямолинейное распространение света - номер 7.45, страница 150.

Условие.

7.45. На столбе высотой 10 м горит фонарь. Человек ростом 1,8 м удаляется от столба со скоростью 3,6 км/ч. С какой скоростью движется передний край тени человека?

Решение.

Дано:

Высота столба, $H = 10$ м

Рост человека, $h = 1,8$ м

Скорость человека, $v_p = 3,6$ км/ч

Переведем скорость человека в систему СИ:

$v_p = 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 3,6 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость движения переднего края тени, $v_s$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом подобия треугольников. Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый, больший, образован столбом (катет $\text{H}$), поверхностью земли от основания столба до конца тени (катет $\text{L}$) и лучом света от фонаря до конца тени (гипотенуза). Второй, меньший, образован человеком (катет $\text{h}$), его тенью (катет, равный длине тени $\text{l}$) и лучом света, проходящим над головой человека (гипотенуза).

Пусть $\text{x}$ — расстояние от человека до столба в некоторый момент времени, а $\text{L}$ — расстояние от столба до переднего края тени. Длина тени человека будет равна $L-x$.

Из подобия этих треугольников следует соотношение:

$\frac{H}{L} = \frac{h}{L-x}$

Выразим $\text{L}$ из этого уравнения:

$H(L-x) = hL$

$HL - Hx = hL$

$HL - hL = Hx$

$L(H-h) = Hx$

$L = \frac{H}{H-h} \cdot x$

Скорость движения переднего края тени $v_s$ — это производная от расстояния $\text{L}$ по времени $\text{t}$, то есть $v_s = \frac{dL}{dt}$. Скорость человека $v_p$ — это производная от расстояния $\text{x}$ по времени $\text{t}$, то есть $v_p = \frac{dx}{dt}$.

Продифференцируем полученное выражение для $\text{L}$ по времени:

$v_s = \frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{H}{H-h} \cdot x\right)$

Так как $\text{H}$ и $\text{h}$ — постоянные величины, множитель $\frac{H}{H-h}$ можно вынести за знак производной:

$v_s = \frac{H}{H-h} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{H}{H-h} \cdot v_p$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_s = \frac{10 \text{ м}}{10 \text{ м} - 1,8 \text{ м}} \cdot 1 \text{ м/с} = \frac{10}{8,2} \text{ м/с} = \frac{100}{82} \text{ м/с} = \frac{50}{41} \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение:

$v_s \approx 1,22 \text{ м/с}$

Ответ: скорость движения переднего края тени человека равна $\frac{50}{41}$ м/с, что приблизительно составляет $1,22$ м/с.