Номер 7.43, страница 150 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Прямолинейное распространение света - номер 7.43, страница 150.

Условие.

7.43. Лампа, помещённая в матовый шар диаметром 50 см, подвешена на высоте 4 м над полом. На какой высоте подвешен под лампой непрозрачный шар диаметром 25 см, если на полу образовалась только полутень? Найдите размеры этой полутени.

Решение.

Дано:

Диаметр матового шара (источник света), $D_1 = 50$ см

Высота центра матового шара над полом, $H_1 = 4$ м

Диаметр непрозрачного шара, $D_2 = 25$ см

На полу образуется только полутень.

Перевод в систему СИ:

$D_1 = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м} \implies R_1 = D_1 / 2 = 0.25 \text{ м}$

$H_1 = 4 \text{ м}$

$D_2 = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м} \implies R_2 = D_2 / 2 = 0.125 \text{ м}$

Найти:

1. Высоту центра непрозрачного шара над полом, $H_2$.

2. Размеры (диаметр) полутени на полу, $D_p$.

Решение:

Задача описывает образование тени от непрозрачного объекта при освещении протяженным источником света. Тень в общем случае состоит из полной тени (умбры) и полутени (пенумбры). Условие, что на полу образовалась только полутень, означает, что область полной тени на полу отсутствует, то есть её размер равен нулю.

На какой высоте подвешен под лампой непрозрачный шар?

Отсутствие полной тени на полу означает, что конус полной тени сходится в точку точно на поверхности пола. Этот конус образуется лучами, идущими от краев источника света и касающимися одноименных краев непрозрачного шара. Рассмотрим сечение системы вертикальной плоскостью, проходящей через центры шаров. В этом сечении лучи, образующие границу полной тени, представляют собой прямые линии.

Из подобия треугольников, образованных лучом, идущим от верхнего края источника света к верхнему краю непрозрачного шара, и вертикальной осью, проходящей через центры шаров, можно записать соотношение:

$\frac{H_2}{H_1} = \frac{R_2}{R_1}$

где $H_1$ и $R_1$ — высота и радиус источника света, а $H_2$ и $R_2$ — высота и радиус непрозрачного шара.

Выразим искомую высоту $H_2$:

$H_2 = H_1 \cdot \frac{R_2}{R_1}$

Подставим числовые значения:

$H_2 = 4 \text{ м} \cdot \frac{0.125 \text{ м}}{0.25 \text{ м}} = 4 \cdot 0.5 = 2 \text{ м}$

Ответ: Непрозрачный шар подвешен на высоте 2 м над полом.

Найдите размеры этой полутени.

Поскольку полная тень отсутствует, полутень на полу представляет собой круг. Его внешний радиус $R_p$ определяется лучами, которые идут от одного края источника света (например, верхнего) и касаются противоположного края непрозрачного шара (нижнего).

Снова воспользуемся методом подобных треугольников. Рассмотрим треугольник, образованный лучом, вертикальной осью и горизонтальной линией на высоте источника света, и ему подобный треугольник, образованный тем же лучом, вертикальной осью и горизонтальной линией на высоте непрозрачного шара. Из подобия следует:

$\frac{H_1 - H_2}{R_1 + R_2} = \frac{H_1}{R_1 + R_p}$

Из этого соотношения выразим радиус полутени $R_p$:

$R_1 + R_p = \frac{H_1 (R_1 + R_2)}{H_1 - H_2}$

$R_p = \frac{H_1 (R_1 + R_2)}{H_1 - H_2} - R_1$

Подставим значения:

$R_p = \frac{4 \text{ м} \cdot (0.25 \text{ м} + 0.125 \text{ м})}{4 \text{ м} - 2 \text{ м}} - 0.25 \text{ м}$

$R_p = \frac{4 \cdot 0.375}{2} - 0.25 = 2 \cdot 0.375 - 0.25 = 0.75 - 0.25 = 0.5 \text{ м}$

Размер полутени — это её диаметр $D_p$:

$D_p = 2 \cdot R_p = 2 \cdot 0.5 \text{ м} = 1 \text{ м}$

Ответ: Диаметр полутени равен 1 м.