Номер 7.44, страница 150 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Прямолинейное распространение света - номер 7.44, страница 150.

Условие.

7.44. Вертикальный шест высотой 1 м, поставленный недалеко от уличного фонаря, отбрасывает тень длиной 80 см. Если расстояние между шестом и фонарным столбом увеличить на 1,5 м, то длина тени возрастает до 1,3 м. На какой высоте находится фонарь?

Решение.

Дано:

Высота шеста, $h = 1$ м

Длина тени в первом случае, $l_1 = 80$ см $= 0,8$ м

Увеличение расстояния между шестом и фонарным столбом, $\Delta d = 1,5$ м

Длина тени во втором случае, $l_2 = 1,3$ м

Найти:

Высоту, на которой находится фонарь, $\text{H}$

Решение:

Данная задача решается с помощью подобия треугольников. Источник света (фонарь), верхушка шеста и конец тени от шеста лежат на одной прямой линии. Фонарный столб и шест перпендикулярны земле.

Рассмотрим первый случай. Пусть $\text{H}$ — высота фонаря, $\text{h}$ — высота шеста, $d_1$ — начальное расстояние от фонарного столба до шеста, а $l_1$ — длина тени. Образуются два подобных прямоугольных треугольника: большой, с катетами $\text{H}$ и $(d_1 + l_1)$, и малый, с катетами $\text{h}$ и $l_1$.

Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H}{h} = \frac{d_1 + l_1}{l_1}$

Подставим известные значения $h = 1$ м и $l_1 = 0,8$ м:

$\frac{H}{1} = \frac{d_1 + 0,8}{0,8}$

$0,8H = d_1 + 0,8$

Выразим отсюда $d_1$:

$d_1 = 0,8H - 0,8$ (1)

Теперь рассмотрим второй случай. Расстояние между шестом и столбом стало $d_2 = d_1 + \Delta d = d_1 + 1,5$ м. Длина тени стала $l_2 = 1,3$ м.

Аналогично первому случаю, запишем соотношение для подобных треугольников:

$\frac{H}{h} = \frac{d_2 + l_2}{l_2}$

Подставим известные значения $h = 1$ м, $l_2 = 1,3$ м и выражение для $d_2$:

$\frac{H}{1} = \frac{(d_1 + 1,5) + 1,3}{1,3}$

$1,3H = d_1 + 1,5 + 1,3$

$1,3H = d_1 + 2,8$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{H}$ и $d_1$. Подставим выражение для $d_1$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$1,3H = (0,8H - 0,8) + 2,8$

$1,3H = 0,8H + 2$

Перенесем члены с $\text{H}$ в одну сторону:

$1,3H - 0,8H = 2$

$0,5H = 2$

Отсюда находим высоту фонаря $\text{H}$:

$H = \frac{2}{0,5} = 4$ м

Ответ: высота, на которой находится фонарь, равна $\text{4}$ м.