Номер 7.37, страница 150 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Прямолинейное распространение света - номер 7.37, страница 150.

Условие.

7.37*. Оцените размер области поверхности Земли, где одновременно наблюдается солнечное затмение (полное или частное). Радиус Солнца $7 \cdot 10^5$ км, радиус Луны 1700 км. Расстояние от Земли до Солнца $1,5 \cdot 10^8$ км, от Земли до Луны $3,8 \cdot 10^5$ км.

Решение.

Дано:

Радиус Солнца, $R_С = 7 \cdot 10^5$ км

Радиус Луны, $R_Л = 1700$ км

Расстояние от Земли до Солнца, $L_{ЗС} = 1.5 \cdot 10^8$ км

Расстояние от Земли до Луны, $L_{ЗЛ} = 3.8 \cdot 10^5$ км

Перевод в систему СИ:

$R_С = 7 \cdot 10^8$ м

$R_Л = 1.7 \cdot 10^6$ м

$L_{ЗС} = 1.5 \cdot 10^{11}$ м

$L_{ЗЛ} = 3.8 \cdot 10^8$ м

Найти:

Размер (диаметр) области на поверхности Земли, где наблюдается солнечное затмение, $\text{D}$.

Решение:

Область, где наблюдается солнечное затмение (полное или частное), соответствует области полутени, которую Луна отбрасывает на Землю. Размер этой области можно оценить, найдя диаметр пятна полутени на поверхности Земли.

Для оценки будем считать, что поверхность Земли в области тени является плоской. Геометрию явления можно рассмотреть с помощью подобных треугольников. Граница области полутени определяется лучами света, которые касаются края диска Солнца и противоположного края диска Луны.

Пусть $\text{r}$ — это радиус пятна полутени на Земле. Его можно найти, рассмотрев геометрию лучей, формирующих край полутени. Из подобия треугольников, образованных лучами, радиусами Солнца и Луны и линией, соединяющей их центры, можно вывести формулу для радиуса полутени $\text{r}$ на расстоянии Земли:

$r = \frac{R_Л L_{ЗС} + R_С L_{ЗЛ}}{L_{ЗС} - L_{ЗЛ}}$

Подставим числовые значения в метрах для большей точности вычислений:

$r = \frac{(1.7 \cdot 10^6 \text{ м}) \cdot (1.5 \cdot 10^{11} \text{ м}) + (7 \cdot 10^8 \text{ м}) \cdot (3.8 \cdot 10^8 \text{ м})}{1.5 \cdot 10^{11} \text{ м} - 3.8 \cdot 10^8 \text{ м}}$

Вычислим числитель:

$1.7 \cdot 1.5 \cdot 10^{17} + 7 \cdot 3.8 \cdot 10^{16} = 2.55 \cdot 10^{17} + 2.66 \cdot 10^{17} = 5.21 \cdot 10^{17} \text{ м}^2$

Вычислим знаменатель:

$1.5 \cdot 10^{11} - 0.0038 \cdot 10^{11} = 1.4962 \cdot 10^{11} \text{ м}$

Теперь найдем радиус:

$r = \frac{5.21 \cdot 10^{17} \text{ м}^2}{1.4962 \cdot 10^{11} \text{ м}} \approx 3.482 \cdot 10^6 \text{ м}$

Таким образом, радиус области полутени составляет примерно $3482$ км.

Размер области, который требуется оценить, — это ее диаметр $\text{D}$:

$D = 2r \approx 2 \cdot 3482 \text{ км} = 6964 \text{ км}$

С учетом того, что исходные данные приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат.

$D \approx 7000 \text{ км}$

Ответ: Размер области на поверхности Земли, где одновременно наблюдается солнечное затмение, составляет примерно 7000 км в диаметре.