Номер 7.33, страница 149 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Прямолинейное распространение света - номер 7.33, страница 149.

Условие.

7.33. По схеме, изображённой на рисунке 7.4, определите ширину области тени, даваемой непрозрачным диском на экране.

Рис. 7.4

Решение.

Дано:

Схемы расположения источников света ($S_1, S_2$), непрозрачного диска и экрана (рис. 7.4 а, б).

Масштаб: 4 клетки = 10 см.

Цена одной клетки: $l_0 = 10 \text{ см} / 4 = 2.5 \text{ см}$.

Найти:

Ширину области тени на экране $\text{H}$ для случаев а и б.

Решение:

Область тени, создаваемая непрозрачным предметом от двух точечных источников света, состоит из области полной тени (умбры) и полутени (пенумбры). Полная тень — это область на экране, куда не попадает свет ни от одного из источников. Полутень — это область, куда свет попадает только от одного из источников. Мы определим ширину области полной тени ($H_у$) и ширину всей области тени ($H_п$), которая включает в себя и полную тень, и полутень.

Для решения задачи воспользуемся методом, основанным на законе прямолинейного распространения света, используя подобие треугольников. Введем систему координат, где ось X направлена горизонтально, а ось Y — вертикально. Будем измерять все расстояния в клетках (условных единицах, у.е.), а затем переведем их в сантиметры, зная, что 1 у.е. = 2.5 см.

Координаты источников света в обоих случаях: $S_1(1, 5)$ и $S_2(1, 3)$.

Экран в обоих случаях представляет собой вертикальную линию при $x_э = 10$.

а)

В этом случае непрозрачный диск расположен на линии $x_d = 5$. Его верхний край находится на высоте $y_{d_в} = 6$ у.е., а нижний — на высоте $y_{d_н} = 2$ у.е.

Найдем границы тени от каждого источника на экране ($x_э = 10$).

Тень от источника $S_1(1, 5)$:

Верхняя граница тени $y_{1_в}$ на экране определяется лучом, проходящим от $S_1$ через верхний край диска $(x_d, y_{d_в})$. Из подобия треугольников:

$\frac{y_{1_в} - y_{S_1}}{x_э - x_{S_1}} = \frac{y_{d_в} - y_{S_1}}{x_d - x_{S_1}}$

$\frac{y_{1_в} - 5}{10 - 1} = \frac{6 - 5}{5 - 1} \Rightarrow \frac{y_{1_в} - 5}{9} = \frac{1}{4} \Rightarrow y_{1_в} = 5 + \frac{9}{4} = 7.25$ у.е.

Нижняя граница тени $y_{1_н}$ определяется лучом от $S_1$ через нижний край диска $(x_d, y_{d_н})$:

$\frac{y_{1_н} - y_{S_1}}{x_э - x_{S_1}} = \frac{y_{d_н} - y_{S_1}}{x_d - x_{S_1}}$

$\frac{y_{1_н} - 5}{10 - 1} = \frac{2 - 5}{5 - 1} \Rightarrow \frac{y_{1_н} - 5}{9} = \frac{-3}{4} \Rightarrow y_{1_н} = 5 - \frac{27}{4} = -1.75$ у.е.

Таким образом, область тени от $S_1$ на экране находится в интервале $[-1.75, 7.25]$ у.е.

Тень от источника $S_2(1, 3)$:

Верхняя граница тени $y_{2_в}$:

$\frac{y_{2_в} - 3}{10 - 1} = \frac{6 - 3}{5 - 1} \Rightarrow \frac{y_{2_в} - 3}{9} = \frac{3}{4} \Rightarrow y_{2_в} = 3 + \frac{27}{4} = 9.75$ у.е.

Нижняя граница тени $y_{2_н}$:

$\frac{y_{2_н} - 3}{10 - 1} = \frac{2 - 3}{5 - 1} \Rightarrow \frac{y_{2_н} - 3}{9} = \frac{-1}{4} \Rightarrow y_{2_н} = 3 - \frac{9}{4} = 0.75$ у.е.

Область тени от $S_2$ на экране находится в интервале $[0.75, 9.75]$ у.е.

Область полной тени (умбра) является пересечением областей тени от $S_1$ и $S_2$: $[0.75, 7.25]$. Ее ширина:

$H_у = (7.25 - 0.75) \text{ у.е.} = 6.5 \text{ у.е.}$

$H_у = 6.5 \times 2.5 \text{ см} = 16.25 \text{ см}$.

Общая область тени (включая полутень) является объединением областей тени от $S_1$ и $S_2$: $[-1.75, 9.75]$. Ее ширина:

$H_п = (9.75 - (-1.75)) \text{ у.е.} = 11.5 \text{ у.е.}$

$H_п = 11.5 \times 2.5 \text{ см} = 28.75 \text{ см}$.

Ответ: Ширина всей области тени (включая полутень) — 28,75 см. Ширина области полной тени составляет 16,25 см.

б)

В этом случае на схеме присутствуют несколько объектов. Будем исходить из того, что, согласно условию, тень отбрасывает только объект, обозначенный как "Диск". Этот диск расположен на линии $x_d = 8$. Его размеры и положение по оси Y такие же, как в случае а): верхний край $y_{d_в} = 6$ у.е., нижний край $y_{d_н} = 2$ у.е.

Повторим расчеты для нового положения диска.

Тень от источника $S_1(1, 5)$:

Верхняя граница тени $y_{1_в}$:

$\frac{y_{1_в} - 5}{10 - 1} = \frac{6 - 5}{8 - 1} \Rightarrow \frac{y_{1_в} - 5}{9} = \frac{1}{7} \Rightarrow y_{1_в} = 5 + \frac{9}{7} = \frac{44}{7}$ у.е.

Нижняя граница тени $y_{1_н}$:

$\frac{y_{1_н} - 5}{10 - 1} = \frac{2 - 5}{8 - 1} \Rightarrow \frac{y_{1_н} - 5}{9} = \frac{-3}{7} \Rightarrow y_{1_н} = 5 - \frac{27}{7} = \frac{8}{7}$ у.е.

Область тени от $S_1$: $[\frac{8}{7}, \frac{44}{7}]$.

Тень от источника $S_2(1, 3)$:

Верхняя граница тени $y_{2_в}$:

$\frac{y_{2_в} - 3}{10 - 1} = \frac{6 - 3}{8 - 1} \Rightarrow \frac{y_{2_в} - 3}{9} = \frac{3}{7} \Rightarrow y_{2_в} = 3 + \frac{27}{7} = \frac{48}{7}$ у.е.

Нижняя граница тени $y_{2_н}$:

$\frac{y_{2_н} - 3}{10 - 1} = \frac{2 - 3}{8 - 1} \Rightarrow \frac{y_{2_н} - 3}{9} = \frac{-1}{7} \Rightarrow y_{2_н} = 3 - \frac{9}{7} = \frac{12}{7}$ у.е.

Область тени от $S_2$: $[\frac{12}{7}, \frac{48}{7}]$.

Область полной тени (умбра) является пересечением областей: $[\frac{12}{7}, \frac{44}{7}]$. Ее ширина:

$H_у = (\frac{44}{7} - \frac{12}{7}) \text{ у.е.} = \frac{32}{7}$ у.е.

$H_у = \frac{32}{7} \times 2.5 \text{ см} = \frac{80}{7} \text{ см} \approx 11.43 \text{ см}$.

Общая область тени является объединением областей: $[\frac{8}{7}, \frac{48}{7}]$. Ее ширина:

$H_п = (\frac{48}{7} - \frac{8}{7}) \text{ у.е.} = \frac{40}{7}$ у.е.

$H_п = \frac{40}{7} \times 2.5 \text{ см} = \frac{100}{7} \text{ см} \approx 14.29 \text{ см}$.

Ответ: Ширина всей области тени (включая полутень) — $\frac{100}{7} \approx 14,29$ см. Ширина области полной тени составляет $\frac{80}{7} \approx 11,43$ см.