Номер 7.28, страница 149 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Прямолинейное распространение света - номер 7.28, страница 149.

Условие.

7.28. Как соотносятся продольные размеры самолёта и его полной тени, когда он летит горизонтально в полдень над экватором?

Решение.

Решение

Когда самолёт летит горизонтально в полдень над экватором, Солнце находится в зените, то есть прямо над ним. Это означает, что солнечные лучи падают на землю практически вертикально.

Ключевым фактором является то, что Солнце — не точечный источник света, а протяжённый, имеющий вид диска. С Земли его угловой диаметр составляет примерно $ \alpha \approx 0.53^\circ $. Из-за этого тень от любого объекта, включая самолёт, состоит из двух областей:

1. Полная тень (умбра) — это область, из которой диск Солнца полностью не виден за самолётом.
2. Полутень (пенумбра) — это область, из которой Солнце видно лишь частично.

Вопрос касается "полной тени", то есть умбры. Её продольный размер (длина) определяется лучами, идущими от противоположных краёв солнечного диска и касающимися противоположных концов самолёта (носа и хвоста). Эти лучи пересекаются, и именно они формируют границы полной тени.

Пусть $ L $ — длина самолёта, а $ H $ — высота его полёта. Из-за углового размера Солнца $ \alpha $ длина полной тени $ L_{т} $ на земле будет короче длины самолёта. Геометрически это можно выразить формулой:

$ L_{т} = L - 2H \tan(\frac{\alpha}{2}) $

Поскольку угол $ \alpha $ очень мал, можно использовать приближение $ \tan(\frac{\alpha}{2}) \approx \frac{\alpha}{2} $, где $ \alpha $ выражено в радианах. Тогда формула упрощается:

$ L_{т} \approx L - H\alpha $

Так как высота $ H $ и угловой размер Солнца $ \alpha $ — величины положительные, то вычитаемое $ H\alpha $ также положительно. Это означает, что длина полной тени $ L_{т} $ всегда меньше длины самолёта $ L $. Стоит отметить, что полная тень достигнет земли только при условии $ L > H\alpha $. Для самолёта, летящего на большой высоте, это условие может не выполняться, и на земле будет наблюдаться только полутень. Однако, если полная тень существует, её продольный размер будет меньше продольного размера самолёта.

Ответ: Продольный размер полной тени самолёта меньше, чем продольный размер самого самолёта.