Номер 7.22, страница 148 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.22, страница 148.

Условие.

7.22*. В центре квадратной комнаты площадью $25 \text{ см}^2$ висит лампа. Считая её точечным источником света, найдите, на какой высоте от пола должна находиться лампа, чтобы освещённость в углах комнаты была наибольшей.

Решение.

Дано:

Площадь квадратной комнаты, $S = 25 \text{ м}^2$
Источник света - точечный, расположен в центре комнаты.

Найти:

Высоту $\text{h}$, на которой освещённость $\text{E}$ в углах комнаты будет наибольшей.

Решение:

Освещённость $\text{E}$ поверхности, создаваемая точечным источником света, определяется по формуле:
$E = \frac{I \cos \alpha}{r^2}$
где $\text{I}$ – сила света источника, $\text{r}$ – расстояние от источника до точки на поверхности, $\alpha$ – угол падения лучей (угол между лучом и нормалью к поверхности).

Комната имеет форму квадрата с площадью $S = 25 \text{ м}^2$. Длина стороны квадрата $\text{a}$ равна:
$a = \sqrt{S} = \sqrt{25 \text{ м}^2} = 5 \text{ м}$

Лампа висит в центре комнаты на высоте $\text{h}$ от пола. Рассмотрим один из углов комнаты. Расстояние по полу от центра комнаты (проекции лампы) до угла равно половине длины диагонали квадрата. Обозначим это расстояние как $\text{d}$.
Диагональ квадрата $D = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \text{ м}$.
Тогда расстояние $\text{d}$ будет:
$d = \frac{D}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ м}$

Расстояние $\text{r}$ от лампы до угла комнаты найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $\text{h}$ и расстояние $\text{d}$:
$r^2 = h^2 + d^2$
$r = \sqrt{h^2 + d^2}$

Нормаль к поверхности пола направлена вертикально вверх. Угол падения $\alpha$ – это угол между лучом света (гипотенузой $\text{r}$) и нормалью (катетом $\text{h}$). Из того же прямоугольного треугольника:
$\cos \alpha = \frac{h}{r} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + d^2}}$

Подставим выражения для $r^2$ и $\cos \alpha$ в формулу освещённости:
$E(h) = \frac{I}{h^2 + d^2} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 + d^2}} = \frac{I h}{(h^2 + d^2)^{3/2}}$

Чтобы найти высоту $\text{h}$, при которой освещённость $\text{E}$ максимальна, нужно исследовать эту функцию на экстремум. для этого найдём производную функции $E(h)$ по $\text{h}$ и приравняем её к нулю. Сила света $\text{I}$ и расстояние $\text{d}$ являются константами.
$\frac{dE}{dh} = I \cdot \frac{d}{dh} \left( \frac{h}{(h^2 + d^2)^{3/2}} \right)$
Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
$u = h \implies u' = 1$
$v = (h^2 + d^2)^{3/2} \implies v' = \frac{3}{2}(h^2 + d^2)^{1/2} \cdot (2h) = 3h(h^2 + d^2)^{1/2}$
$\frac{dE}{dh} = I \cdot \frac{1 \cdot (h^2 + d^2)^{3/2} - h \cdot 3h(h^2 + d^2)^{1/2}}{((h^2 + d^2)^{3/2})^2} = I \cdot \frac{(h^2 + d^2)^{3/2} - 3h^2(h^2 + d^2)^{1/2}}{(h^2 + d^2)^3}$

Приравниваем производную к нулю. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
$(h^2 + d^2)^{3/2} - 3h^2(h^2 + d^2)^{1/2} = 0$
Вынесем общий множитель $(h^2 + d^2)^{1/2}$ за скобки:
$(h^2 + d^2)^{1/2} \cdot [(h^2 + d^2) - 3h^2] = 0$
Поскольку $h > 0$ и $d > 0$, первый множитель $(h^2 + d^2)^{1/2}$ не может быть равен нулю. Следовательно, нулю должен быть равен второй множитель:
$h^2 + d^2 - 3h^2 = 0$
$d^2 - 2h^2 = 0$
$2h^2 = d^2$
$h = \frac{d}{\sqrt{2}}$ (берём только положительное значение, так как $\text{h}$ – это высота).

Теперь подставим числовое значение для $\text{d}$:
$d = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ м}$
$h = \frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ м}$

Таким образом, для достижения максимальной освещённости в углах комнаты, лампа должна находиться на высоте 2.5 метра от пола.

Ответ: $h = 2.5 \text{ м}$.