Номер 7.17, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.17, страница 147.

Условие.

7.17. Две лампы силой света по 50 кд висят на высоте 7 м над столом. Расстояние между лампами 1 м 40 см. Найдите освещённость стола:

а) под каждой лампой;

б) в точке, равноудалённой от обеих ламп.

Решение.

Дано:

Сила света каждой лампы $I = 50$ кд

Высота ламп над столом $h = 7$ м

Расстояние между лампами $d = 1$ м 40 см = $1.4$ м

Найти:

$E_a$ - освещённость стола под каждой лампой.

$E_b$ - освещённость стола в точке, равноудалённой от обеих ламп.

Решение:

Освещённость $\text{E}$ на поверхности, создаваемая точечным источником света, определяется по формуле: $E = \frac{I \cos \alpha}{r^2}$, где $\text{I}$ - сила света источника, $\text{r}$ - расстояние от источника до точки на поверхности, а $\alpha$ - угол падения лучей (угол между нормалью к поверхности и направлением луча света).

Суммарная освещённость от двух источников равна сумме освещённостей, создаваемых каждым источником в отдельности.

а) под каждой лампой

Рассмотрим точку A на столе, расположенную непосредственно под первой лампой (Л1). Освещённость в этой точке $E_a$ складывается из освещённости от первой лампы ($E_1$) и второй лампы ($E_2$).

Для первой лампы луч падает перпендикулярно поверхности стола, поэтому угол падения $\alpha_1 = 0^\circ$, а $\cos \alpha_1 = 1$. Расстояние от лампы до точки A равно высоте $r_1 = h = 7$ м.

$E_1 = \frac{I \cos \alpha_1}{r_1^2} = \frac{I}{h^2} = \frac{50 \text{ кд}}{(7 \text{ м})^2} = \frac{50}{49} \text{ лк} \approx 1.02 \text{ лк}$

Для второй лампы (Л2) расстояние $r_2$ до точки A найдем по теореме Пифагора: $r_2 = \sqrt{h^2 + d^2}$.

$r_2 = \sqrt{(7 \text{ м})^2 + (1.4 \text{ м})^2} = \sqrt{49 + 1.96} = \sqrt{50.96} \text{ м} \approx 7.14 \text{ м}$

Косинус угла падения лучей от второй лампы $\cos \alpha_2 = \frac{h}{r_2}$.

Освещённость от второй лампы:

$E_2 = \frac{I \cos \alpha_2}{r_2^2} = \frac{I}{r_2^2} \cdot \frac{h}{r_2} = \frac{I h}{r_2^3} = \frac{I h}{(h^2 + d^2)^{3/2}}$

$E_2 = \frac{50 \text{ кд} \cdot 7 \text{ м}}{(50.96 \text{ м}^2)^{3/2}} \approx \frac{350}{50.96 \cdot 7.14} \text{ лк} \approx \frac{350}{363.8} \text{ лк} \approx 0.96 \text{ лк}$

Суммарная освещённость в точке A:

$E_a = E_1 + E_2 \approx 1.02 \text{ лк} + 0.96 \text{ лк} = 1.98 \text{ лк}$

Ответ: 1,98 лк.

б) в точке, равноудалённой от обеих ламп

Рассмотрим точку B на столе, расположенную посередине между проекциями ламп. Расстояние по горизонтали от проекции каждой лампы до точки B равно $d/2 = 1.4 \text{ м} / 2 = 0.7$ м.

Из-за симметрии освещённость от каждой лампы в точке B будет одинаковой ($E'_1 = E'_2$). Суммарная освещённость $E_b = E'_1 + E'_2 = 2E'_1$.

Расстояние $r'$ от каждой лампы до точки B найдём по теореме Пифагора:

$r' = \sqrt{h^2 + (d/2)^2} = \sqrt{(7 \text{ м})^2 + (0.7 \text{ м})^2} = \sqrt{49 + 0.49} = \sqrt{49.49} \text{ м} \approx 7.035 \text{ м}$

Косинус угла падения лучей от каждой лампы $\cos \alpha' = \frac{h}{r'}$.

Освещённость от одной лампы:

$E'_1 = \frac{I \cos \alpha'}{(r')^2} = \frac{I}{(r')^2} \cdot \frac{h}{r'} = \frac{I h}{(r')^3} = \frac{I h}{(h^2 + (d/2)^2)^{3/2}}$

Суммарная освещённость в точке B:

$E_b = 2 E'_1 = 2 \cdot \frac{I h}{(h^2 + (d/2)^2)^{3/2}} = 2 \cdot \frac{50 \text{ кд} \cdot 7 \text{ м}}{(49.49 \text{ м}^2)^{3/2}} \approx \frac{700}{49.49 \cdot 7.035} \text{ лк} \approx \frac{700}{348.1} \text{ лк} \approx 2.01 \text{ лк}$

Ответ: 2,01 лк.