Номер 7.10, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.10, страница 147.

Условие.

7.10. С какого наибольшего расстояния разведчик может заметить ночью огонёк папиросы неприятельского солдата, если сила света папиросы при сильном затягивании $2,5 \cdot 10^{-3}$ кд? Наименьший световой поток, воспринимаемый глазом, равен $10^{-13}$ лм, а поверхность зрачка глаза в темноте имеет площадь $0,4$ см$^2$.

Решение.

Дано:

Сила света папиросы, $I = 2,5 \cdot 10^{-3}$ кд
Наименьший световой поток, воспринимаемый глазом, $\Phi_{min} = 10^{-13}$ лм
Площадь зрачка, $S = 0,4 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:
$S = 0,4 \text{ см}^2 = 0,4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 4 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

Найти:

Наибольшее расстояние $R_{max}$

Решение:

Огонёк папиросы можно рассматривать как точечный источник света. Освещённость $\text{E}$, создаваемая точечным источником с силой света $\text{I}$ на расстоянии $\text{R}$ от него, находится по формуле закона обратных квадратов:

$E = \frac{I}{R^2}$

Световой поток $\Phi$, который попадает в зрачок глаза, равен произведению освещённости $\text{E}$ на площадь зрачка $\text{S}$:

$\Phi = E \cdot S$

Объединив эти две формулы, получим зависимость светового потока, попадающего в глаз, от расстояния до источника:

$\Phi = \frac{I \cdot S}{R^2}$

Человеческий глаз сможет заметить источник света, если световой поток $\Phi$, попадающий на сетчатку, будет не меньше порогового (наименьшего) значения $\Phi_{min}$. Наибольшее расстояние $R_{max}$, с которого можно увидеть огонёк, соответствует условию, когда $\Phi = \Phi_{min}$:

$\Phi_{min} = \frac{I \cdot S}{R_{max}^2}$

Выразим из этого уравнения искомое расстояние $R_{max}$:

$R_{max}^2 = \frac{I \cdot S}{\Phi_{min}}$

$R_{max} = \sqrt{\frac{I \cdot S}{\Phi_{min}}}$

Теперь подставим числовые значения в СИ и выполним расчёт:

$R_{max} = \sqrt{\frac{2,5 \cdot 10^{-3} \cdot 4 \cdot 10^{-5}}{10^{-13}}} = \sqrt{\frac{10 \cdot 10^{-8}}{10^{-13}}} = \sqrt{\frac{10^{-7}}{10^{-13}}} = \sqrt{10^{6}} = 10^3 \text{ м}$

Таким образом, максимальное расстояние составляет 1000 метров, или 1 километр.

Ответ: наибольшее расстояние, с которого разведчик может заметить огонёк папиросы, равно 1000 м (1 км).