Номер 7.13, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.13, страница 147.

Условие.

7.13. На высоте 1 м от центра круглого стола диаметром 1 м висит круглая лампа. Полный световой поток лампы 600 лм. Определите освещённость:

а) края стола;

б) центра стола.

Лампу можно считать точечным источником.

Решение.

Дано:
Высота лампы над столом, $h = 1$ м
Диаметр стола, $D = 1$ м
Полный световой поток лампы, $\Phi = 600$ лм

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:
$E_{края}$ - освещённость края стола
$E_{центра}$ - освещённость центра стола

Решение:

Освещённость $\text{E}$ поверхности, создаваемая точечным источником света, определяется по формуле закона освещённости:
$E = \frac{I \cdot \cos{\alpha}}{r^2}$
где $\text{I}$ – сила света источника, $\text{r}$ – расстояние от источника до освещаемой точки на поверхности, а $\alpha$ – угол падения лучей (угол между световым лучом и нормалью к поверхности).

Поскольку лампа является точечным источником, излучающим свет равномерно во все стороны (изотропно), её сила света $\text{I}$ связана с полным световым потоком $\Phi$ соотношением:
$I = \frac{\Phi}{4\pi}$

Подставив это выражение в формулу освещённости, получим рабочую формулу:
$E = \frac{\Phi \cdot \cos{\alpha}}{4\pi r^2}$

а) края стола

Для нахождения освещённости на краю стола необходимо определить расстояние $\text{r}$ от лампы до края стола и косинус угла падения лучей $\cos{\alpha}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, где катетами являются высота подвеса лампы $\text{h}$ и радиус стола $\text{R}$, а гипотенузой — искомое расстояние $\text{r}$.
Радиус стола равен половине его диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{1 \text{ м}}{2} = 0.5 \text{ м}$.
По теореме Пифагора найдём расстояние $\text{r}$:
$r = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{(1 \text{ м})^2 + (0.5 \text{ м})^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} \text{ м} \approx 1.118 \text{ м}$.
Косинус угла падения $\alpha$ (угла между лучом света и перпендикуляром к столу) найдём из этого же треугольника как отношение прилежащего катета $\text{h}$ к гипотенузе $\text{r}$:
$\cos{\alpha} = \frac{h}{r} = \frac{1}{\sqrt{1.25}}$
Теперь подставим все известные величины в рабочую формулу. Удобнее подставить выражения для $\text{r}$ и $\cos{\alpha}$ в виде:
$E_{края} = \frac{\Phi \cos{\alpha}}{4\pi r^2} = \frac{\Phi}{4\pi r^2} \cdot \frac{h}{r} = \frac{\Phi h}{4\pi r^3} = \frac{\Phi h}{4\pi (h^2 + R^2)^{3/2}}$
Выполним расчёт:
$E_{края} = \frac{600 \text{ лм} \cdot 1 \text{ м}}{4\pi \cdot ((1 \text{ м})^2 + (0.5 \text{ м})^2)^{3/2}} = \frac{600}{4\pi \cdot (1.25)^{3/2}} \text{ лк} \approx \frac{600}{4\pi \cdot 1.3975} \text{ лк} \approx \frac{600}{17.56} \text{ лк} \approx 34.2 \text{ лк}$

Ответ: освещённость на краю стола составляет приблизительно 34,2 лк.

б) центра стола

В центре стола световые лучи падают перпендикулярно поверхности. Это означает, что угол падения $\alpha = 0^\circ$, а его косинус $\cos{0^\circ} = 1$.
Расстояние от лампы до центра стола равно высоте её подвеса: $r = h = 1$ м.
Формула для освещённости в центре стола принимает вид:
$E_{центра} = \frac{\Phi \cdot \cos{0^\circ}}{4\pi h^2} = \frac{\Phi}{4\pi h^2}$
Подставим числовые значения и произведём вычисления:
$E_{центра} = \frac{600 \text{ лм}}{4\pi \cdot (1 \text{ м})^2} = \frac{150}{\pi} \text{ лк} \approx 47.7 \text{ лк}$

Ответ: освещённость в центре стола составляет приблизительно 47,7 лк.