Номер 7.20, страница 148 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.20, страница 148.

Условие.

7.20. 21 марта, в день весеннего равноденствия, на Северной Земле Солнце стоит в полдень под углом $10^{\circ}$ к горизонту. Во сколько раз освещённость площадки, поставленной вертикально, будет больше освещённости горизонтальной площадки?

Решение.

Дано:

Угол Солнца к горизонту, $h = 10^{\circ}$

Найти:

Отношение освещённости вертикальной площадки к освещённости горизонтальной площадки, $\frac{E_{\text{верт}}}{E_{\text{гор}}}$

Решение:

Освещённость $\text{E}$ поверхности связана с углом падения лучей света. Она определяется по формуле:

$E = E_0 \cos{\alpha}$

где $E_0$ — освещённость поверхности, перпендикулярной солнечным лучам, а $\alpha$ — угол между направлением солнечных лучей и нормалью (перпендикуляром) к поверхности.

1. Для горизонтальной площадки:

Нормаль к горизонтальной площадке направлена вертикально вверх. Угол Солнца к горизонту составляет $h = 10^{\circ}$. Угол $\alpha_{\text{гор}}$ между солнечными лучами и вертикальной нормалью будет равен:

$\alpha_{\text{гор}} = 90^{\circ} - h = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$

Тогда освещённость горизонтальной площадки:

$E_{\text{гор}} = E_0 \cos{80^{\circ}}$

2. Для вертикальной площадки:

Предполагаем, что вертикальная площадка развёрнута к Солнцу так, чтобы её освещённость была максимальной. В этом случае нормаль к площадке будет лежать в той же вертикальной плоскости, что и солнечные лучи, и будет направлена горизонтально в сторону Солнца. Угол $\alpha_{\text{верт}}$ между солнечными лучами и горизонтальной нормалью будет равен углу Солнца над горизонтом:

$\alpha_{\text{верт}} = h = 10^{\circ}$

Тогда освещённость вертикальной площадки:

$E_{\text{верт}} = E_0 \cos{10^{\circ}}$

3. Найдём отношение освещённостей:

$\frac{E_{\text{верт}}}{E_{\text{гор}}} = \frac{E_0 \cos{10^{\circ}}}{E_0 \cos{80^{\circ}}} = \frac{\cos{10^{\circ}}}{\cos{80^{\circ}}}$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(90^{\circ} - x) = \sin(x)$, получим $\cos{80^{\circ}} = \cos(90^{\circ} - 10^{\circ}) = \sin{10^{\circ}}$.

Тогда отношение равно:

$\frac{E_{\text{верт}}}{E_{\text{гор}}} = \frac{\cos{10^{\circ}}}{\sin{10^{\circ}}} = \cot{10^{\circ}}$

Вычислим значение:

$\cot{10^{\circ}} \approx 5.671$

Ответ: Освещённость вертикальной площадки будет больше освещённости горизонтальной площадки примерно в 5.67 раз.