Номер 7.14, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.14, страница 147.

Условие.

7.14. Над серединой стола на высоте 1,5 м висит лампа в 720 кд. Длина стола 1,5 м, а ширина 7 м. Найдите:

а) наибольшую;

б) наименьшую освещённость поверхности стола.

Решение.

Дано:

Сила света лампы $I = 720$ кд

Высота лампы над столом $h = 1.5$ м

Длина стола $L_1 = 1.5$ м

Ширина стола $L_2 = 7$ м

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

а) Наибольшую освещенность $E_{max}$

б) Наименьшую освещенность $E_{min}$

Решение:

Освещенность $\text{E}$ на поверхности определяется по формуле:

$E = \frac{I \cdot \cos(\alpha)}{r^2}$

где $\text{I}$ - сила света источника, $\text{r}$ - расстояние от источника до точки на поверхности, а $\alpha$ - угол падения лучей (угол между лучом и нормалью к поверхности).

Лампа висит над центром стола. Выразим $\text{r}$ и $\cos(\alpha)$ через высоту $\text{h}$ и горизонтальное расстояние $\text{d}$ от точки под лампой до рассматриваемой точки на столе. Из геометрии задачи имеем:

$r = \sqrt{h^2 + d^2}$

$\cos(\alpha) = \frac{h}{r} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + d^2}}$

Подставив эти выражения в формулу для освещенности, получим общую формулу для любой точки на столе:

$E = \frac{I}{h^2 + d^2} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 + d^2}} = \frac{I \cdot h}{(h^2 + d^2)^{3/2}}$

а) наибольшую освещенность

Наибольшая освещенность $E_{max}$ будет в точке, где горизонтальное расстояние $\text{d}$ минимально, то есть $d=0$. Эта точка находится прямо под лампой, в центре стола. В этом случае лучи падают перпендикулярно поверхности ($\alpha = 0$, $\cos(\alpha) = 1$), а расстояние $\text{r}$ равно высоте $\text{h}$.

Формула для максимальной освещенности упрощается:

$E_{max} = \frac{I}{h^2}$

Подставим числовые значения:

$E_{max} = \frac{720 \text{ кд}}{(1.5 \text{ м})^2} = \frac{720}{2.25} = 320 \text{ лк}$

Ответ: $320$ лк.

б) наименьшую освещенность

Наименьшая освещенность $E_{min}$ будет в точке, где горизонтальное расстояние $\text{d}$ максимально. На прямоугольном столе наиболее удаленные от центра точки - это его углы.

Найдем квадрат максимального горизонтального расстояния $d_{max}^2$ от центра стола до угла по теореме Пифагора. Половина длины стола равна $L_1/2 = 1.5 / 2 = 0.75$ м, а половина ширины - $L_2/2 = 7 / 2 = 3.5$ м.

$d_{max}^2 = (\frac{L_1}{2})^2 + (\frac{L_2}{2})^2 = (0.75 \text{ м})^2 + (3.5 \text{ м})^2 = 0.5625 + 12.25 = 12.8125 \text{ м}^2$

Теперь найдем квадрат расстояния $r_{max}^2$ от лампы до угла стола:

$r_{max}^2 = h^2 + d_{max}^2 = (1.5 \text{ м})^2 + 12.8125 \text{ м}^2 = 2.25 + 12.8125 = 15.0625$ м²

Подставим значения в общую формулу для освещенности:

$E_{min} = \frac{I \cdot h}{(h^2 + d_{max}^2)^{3/2}} = \frac{I \cdot h}{(r_{max}^2)^{3/2}}$

$E_{min} = \frac{720 \text{ кд} \cdot 1.5 \text{ м}}{(15.0625 \text{ м}^2)^{3/2}} = \frac{1080}{( \sqrt{15.0625} )^3} = \frac{1080}{(3.875)^3} \approx 18.5 \text{ лк}$

Ответ: $18.5$ лк.