Номер 7.15, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.15, страница 147.

Условие.

7.15. Лампа, сила света которой 1000 кд, находится на высоте 8 м от поверхности земли. Найдите площадь участка, в пределах которого освещённость не менее 7 лк.

Решение.

Дано

Сила света лампы: $I = 1000$ кд

Высота лампы над поверхностью земли: $h = 8$ м

Минимальная освещенность: $E_{min} = 7$ лк

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Площадь участка $\text{S}$, на котором освещенность $E \ge E_{min}$.

Решение

Освещенность $\text{E}$ на горизонтальной поверхности, создаваемая точечным источником света, определяется по формуле:

$E = \frac{I \cos{\alpha}}{r^2}$

где $\text{I}$ – сила света источника, $\text{r}$ – расстояние от источника до точки на поверхности, $\alpha$ – угол падения лучей, то есть угол между лучом света и нормалью (перпендикуляром) к поверхности.

Рассмотрим точку на поверхности земли, находящуюся на горизонтальном расстоянии $\text{x}$ от точки, расположенной прямо под лампой. Лампа находится на высоте $\text{h}$. Тогда расстояние $\text{r}$ от лампы до этой точки можно найти из теоремы Пифагора:

$r^2 = h^2 + x^2$

Косинус угла падения $\alpha$ в данном случае равен отношению высоты $\text{h}$ к расстоянию $\text{r}$:

$\cos{\alpha} = \frac{h}{r} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + x^2}}$

Подставим выражения для $r^2$ и $\cos{\alpha}$ в формулу для освещенности:

$E = \frac{I}{h^2 + x^2} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 + x^2}} = \frac{I h}{(h^2 + x^2)^{3/2}}$

Из этой формулы видно, что освещенность максимальна прямо под лампой (при $x=0$) и уменьшается по мере удаления от этой точки. Участок, где освещенность не менее $E_{min}$, представляет собой круг. Найдем радиус $\text{R}$ этого круга, приравняв освещенность на его границе к $E_{min}$:

$E_{min} = \frac{I h}{(h^2 + R^2)^{3/2}}$

Выразим из этой формулы $R^2$:

$(h^2 + R^2)^{3/2} = \frac{I h}{E_{min}}$

$h^2 + R^2 = \left( \frac{I h}{E_{min}} \right)^{2/3}$

$R^2 = \left( \frac{I h}{E_{min}} \right)^{2/3} - h^2$

Площадь этого круга $\text{S}$ равна:

$S = \pi R^2 = \pi \left( \left( \frac{I h}{E_{min}} \right)^{2/3} - h^2 \right)$

Подставим числовые значения:

$S = \pi \left( \left( \frac{1000 \cdot 8}{7} \right)^{2/3} - 8^2 \right) = \pi \left( \left( \frac{8000}{7} \right)^{2/3} - 64 \right)$

$S \approx \pi \left( (1142.86)^{2/3} - 64 \right) \approx \pi (109.44 - 64) = \pi \cdot 45.44$

$S \approx 142.75$ м²

Округлим результат до целого числа.

Ответ:

143 м².