Номер 7.9, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.9, страница 147.

Условие.

7.9. Два экрана находятся на расстоянии 1 м друг от друга. На каком расстоянии от левого экрана нужно поставить точечный источник света так, чтобы напротив источника освещенность левого экрана была вдвое больше освещенности правого?

Решение.

Дано:

Расстояние между экранами, $L = 1$ м.

Отношение освещенностей, $E_1 = 2E_2$.

Найти:

Расстояние от источника до левого экрана, $r_1$ - ?

Решение

Освещенность $\text{E}$, создаваемая точечным источником света на поверхности, перпендикулярной лучам, определяется по формуле:

$E = \frac{I}{r^2}$

где $\text{I}$ – сила света источника, а $\text{r}$ – расстояние от источника до поверхности.

Обозначим расстояние от точечного источника света до левого экрана как $r_1$. Тогда расстояние до правого экрана будет $r_2 = L - r_1$, так как общее расстояние между экранами равно $L = 1$ м.

Освещенность левого экрана $E_1$ в точке, расположенной напротив источника, равна:

$E_1 = \frac{I}{r_1^2}$

Освещенность правого экрана $E_2$ в аналогичной точке равна:

$E_2 = \frac{I}{r_2^2} = \frac{I}{(L - r_1)^2}$

Согласно условию задачи, освещенность левого экрана вдвое больше освещенности правого:

$E_1 = 2 E_2$

Подставим выражения для $E_1$ и $E_2$ в это соотношение:

$\frac{I}{r_1^2} = 2 \cdot \frac{I}{(L - r_1)^2}$

Сила света $\text{I}$ одинакова, поэтому ее можно сократить:

$\frac{1}{r_1^2} = \frac{2}{(L - r_1)^2}$

Перепишем уравнение в виде:

$(L - r_1)^2 = 2 r_1^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку расстояния $r_1$ и $L - r_1$ являются положительными величинами):

$L - r_1 = \sqrt{2} \cdot r_1$

Теперь решим это уравнение относительно $r_1$:

$L = r_1 + \sqrt{2} \cdot r_1$

$L = r_1(1 + \sqrt{2})$

$r_1 = \frac{L}{1 + \sqrt{2}}$

Подставим числовое значение $L = 1$ м:

$r_1 = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ м.

Для удобства вычислений можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$r_1 = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ м.

Вычислим приближенное значение, приняв $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$r_1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$ м.

Ответ: точечный источник света нужно поставить на расстоянии $\sqrt{2} - 1 \approx 0.414$ м от левого экрана.