Номер 7.8, страница 146 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.8, страница 146.

Условие.

7.8. Точечный источник света освещает экран, расположенный на расстоянии 7 м. Силу света источника уменьшили в 2 раза. На сколько нужно приблизить экран, чтобы его освещённость в точке под источником не изменилась?

Решение.

Дано:

Начальное расстояние до экрана, $R_1 = 7$ м
Отношение начальной силы света к конечной, $\frac{I_1}{I_2} = 2$
Освещённость экрана не изменилась, $E_1 = E_2 = E$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

На какое расстояние нужно приблизить экран, $\Delta R$

Решение:

Освещённость $\text{E}$, создаваемая точечным источником света в точке на экране, расположенной прямо под источником, определяется по формуле:

$E = \frac{I}{R^2}$

где $\text{I}$ — сила света источника, а $\text{R}$ — расстояние от источника до экрана.

В начальном состоянии (до изменения силы света) освещённость экрана $E_1$ была:

$E_1 = \frac{I_1}{R_1^2}$

После того как силу света источника уменьшили в 2 раза, новая сила света стала $I_2 = \frac{I_1}{2}$. Чтобы освещённость $E_2$ осталась прежней ($E_2 = E_1$), необходимо изменить расстояние до экрана до нового значения $R_2$.

Запишем выражение для освещённости в конечном состоянии:

$E_2 = \frac{I_2}{R_2^2} = \frac{I_1/2}{R_2^2} = \frac{I_1}{2R_2^2}$

Согласно условию задачи, освещённость не изменилась, следовательно, $E_1 = E_2$.

$\frac{I_1}{R_1^2} = \frac{I_1}{2R_2^2}$

Сократим одинаковый множитель $I_1$ в обеих частях уравнения (так как сила света не равна нулю):

$\frac{1}{R_1^2} = \frac{1}{2R_2^2}$

Из этого соотношения выразим новое расстояние $R_2$:

$2R_2^2 = R_1^2$

$R_2^2 = \frac{R_1^2}{2}$

$R_2 = \sqrt{\frac{R_1^2}{2}} = \frac{R_1}{\sqrt{2}}$

Подставим известное значение $R_1 = 7$ м:

$R_2 = \frac{7}{\sqrt{2}}$ м

Вопрос задачи — на сколько нужно приблизить экран. Это расстояние $\Delta R$ равно разности начального и конечного расстояний:

$\Delta R = R_1 - R_2 = 7 - \frac{7}{\sqrt{2}} = 7(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ м

Теперь вычислим числовое значение, используя приближённое значение $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$\Delta R \approx 7 \cdot (1 - \frac{1}{1.414}) \approx 7 \cdot (1 - 0.707) = 7 \cdot 0.293 \approx 2.051$ м

Округлим результат до сотых.

Ответ: чтобы освещённость не изменилась, экран нужно приблизить на 2.05 м.