Номер 7.18, страница 147 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Фотометрия - номер 7.18, страница 147.

Условие.

7.18. Две лампы силой света $100 \text{ кд}$ и $50 \text{ кд}$ находятся на расстоянии $2,4 \text{ м}$ друг от друга. Где нужно поместить между ними экран, чтобы он был одинаково освещён с обеих сторон?

Решение.

Дано:

Сила света первой лампы $I_1 = 100$ кд

Сила света второй лампы $I_2 = 50$ кд

Расстояние между лампами $L = 2,4$ м

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Положение экрана, при котором его освещенность с обеих сторон одинакова. Обозначим расстояние от первой лампы (100 кд) до экрана как $r_1$.

Решение:

Освещенность $\text{E}$, создаваемая точечным источником света на поверхности, расположенной перпендикулярно световым лучам, вычисляется по формуле:

$E = \frac{I}{r^2}$

где $\text{I}$ — сила света источника, а $\text{r}$ — расстояние от источника до поверхности.

Согласно условию задачи, экран должен быть освещен одинаково с обеих сторон. Это значит, что освещенность от первой лампы ($E_1$) должна быть равна освещенности от второй лампы ($E_2$):

$E_1 = E_2$

Пусть экран находится на расстоянии $r_1$ от первой лампы ($I_1$) и на расстоянии $r_2$ от второй лампы ($I_2$). Тогда:

$E_1 = \frac{I_1}{r_1^2}$ и $E_2 = \frac{I_2}{r_2^2}$

Приравнивая освещенности, получаем:

$\frac{I_1}{r_1^2} = \frac{I_2}{r_2^2}$

Поскольку экран располагается между лампами, сумма расстояний $r_1$ и $r_2$ равна общему расстоянию между лампами $\text{L}$:

$r_1 + r_2 = L = 2,4$ м

Из этого соотношения выразим $r_2$ через $r_1$:

$r_2 = L - r_1 = 2,4 - r_1$

Подставим это выражение в уравнение равенства освещенностей:

$\frac{I_1}{r_1^2} = \frac{I_2}{(L - r_1)^2}$

Теперь подставим числовые значения $I_1 = 100$ кд, $I_2 = 50$ кд и $L = 2,4$ м:

$\frac{100}{r_1^2} = \frac{50}{(2,4 - r_1)^2}$

Сократим уравнение, разделив обе части на 50:

$\frac{2}{r_1^2} = \frac{1}{(2,4 - r_1)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояния $r_1$ и $r_2$ являются положительными величинами, мы рассматриваем только положительные значения корней:

$\sqrt{\frac{2}{r_1^2}} = \sqrt{\frac{1}{(2,4 - r_1)^2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{r_1} = \frac{1}{2,4 - r_1}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $r_1$:

$\sqrt{2} \cdot (2,4 - r_1) = r_1$

$2,4\sqrt{2} - \sqrt{2}r_1 = r_1$

$2,4\sqrt{2} = r_1 + \sqrt{2}r_1$

$2,4\sqrt{2} = r_1(1 + \sqrt{2})$

$r_1 = \frac{2,4\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$

Для вычисления воспользуемся приближенным значением $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$r_1 = \frac{2,4 \cdot 1,414}{1 + 1,414} = \frac{3,3936}{2,414} \approx 1,406$ м

Округлим результат до сотых, получим $r_1 \approx 1,41$ м.

Теперь найдем расстояние $r_2$ от второй лампы до экрана:

$r_2 = 2,4 - r_1 \approx 2,4 - 1,41 = 0,99$ м

Таким образом, для одинаковой освещенности с обеих сторон экран необходимо разместить на расстоянии 1,41 м от лампы силой света 100 кд.

Ответ: Экран нужно поместить на расстоянии 1,41 м от лампы силой света 100 кд и, соответственно, на расстоянии 0,99 м от лампы силой света 50 кд.