Номер 11.183, страница 231 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Элементарные частицы - номер 11.183, страница 231.

Условие.

11.183**. $K_S^0$-Мезон распадается на два заряженных $\pi$-мезона. Энергия каждого образовавшегося $\pi$-мезона в 1,77 раза больше его энергии покоя. Считая, что первоначально $K_S^0$-мезон покоился и его масса равна $965m_e$, где $m_e$ — масса электрона, найдите:

а) массу $\pi$-мезона;

б) скорость $\pi$-мезонов в момент их образования.

Решение.

Дано:

Масса $K_S^0$-мезона, $m_K = 965m_e$

Отношение полной энергии $\pi$-мезона к его энергии покоя, $E_\pi / E_{0\pi} = 1.77$

Начальная скорость $K_S^0$-мезона, $v_K = 0$

Масса электрона - $m_e$

Скорость света в вакууме - $\text{c}$

Найти:

a) $m_\pi$ - массу $\pi$-мезона;

б) $v_\pi$ - скорость $\pi$-мезонов.

Решение:

Процесс распада $K_S^0$-мезона на два заряженных $\pi$-мезона можно записать как $K_S^0 \rightarrow \pi^+ + \pi^-$. Так как начальный $K_S^0$-мезон покоится, его полная энергия равна его энергии покоя. Эта энергия переходит в полные энергии двух образовавшихся $\pi$-мезонов. В силу закона сохранения импульса, $\pi$-мезоны разлетаются в противоположные стороны с равными по величине скоростями, а значит, имеют одинаковые энергии.

а) массу π-мезона;

Запишем закон сохранения энергии для этого распада:

$E_K = E_{\pi} + E_{\pi} = 2E_{\pi}$

где $E_K$ - полная энергия $K_S^0$-мезона, а $E_{\pi}$ - полная энергия одного $\pi$-мезона.

Поскольку $K_S^0$-мезон покоится, его полная энергия равна энергии покоя:

$E_K = m_K c^2$

Энергия покоя $\pi$-мезона равна $E_{0\pi} = m_\pi c^2$. По условию задачи, полная энергия каждого $\pi$-мезона в 1,77 раза больше его энергии покоя:

$E_\pi = 1.77 E_{0\pi} = 1.77 m_\pi c^2$

Подставим выражения для энергий в закон сохранения энергии:

$m_K c^2 = 2 \cdot (1.77 m_\pi c^2)$

Сократив $c^2$, получим соотношение для масс:

$m_K = 3.54 m_\pi$

Отсюда выразим массу $\pi$-мезона $m_\pi$:

$m_\pi = \frac{m_K}{3.54}$

Подставим известное значение массы $K_S^0$-мезона:

$m_\pi = \frac{965m_e}{3.54} \approx 272.6 m_e$

С учетом точности исходных данных, округлим до трех значащих цифр.

Ответ: Масса $\pi$-мезона составляет примерно $273m_e$, где $m_e$ - масса электрона.

б) скорость π-мезонов в момент их образования.

Полная энергия релятивистской частицы связана с ее скоростью $\text{v}$ через лоренц-фактор $\gamma$:

$E = \gamma E_0$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Из условия задачи для $\pi$-мезона мы имеем $E_\pi = 1.77 E_{0\pi}$. Сравнивая эти два выражения, находим лоренц-фактор для $\pi$-мезона:

$\gamma_\pi = 1.77$

Теперь мы можем найти скорость $v_\pi$ из определения лоренц-фактора:

$\frac{1}{\sqrt{1 - v_\pi^2/c^2}} = 1.77$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{1}{1 - v_\pi^2/c^2} = 1.77^2 = 3.1329$

Выразим $1 - v_\pi^2/c^2$:

$1 - \frac{v_\pi^2}{c^2} = \frac{1}{3.1329} \approx 0.3192$

Отсюда найдем $v_\pi^2/c^2$:

$\frac{v_\pi^2}{c^2} = 1 - 0.3192 = 0.6808$

Извлекая квадратный корень, находим отношение скорости $\pi$-мезона к скорости света:

$\frac{v_\pi}{c} = \sqrt{0.6808} \approx 0.825$

Таким образом, скорость $\pi$-мезонов равна:

$v_\pi \approx 0.825c$

Если выразить это значение в м/с, принимая $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с:

$v_\pi \approx 0.825 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 2.475 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость $\pi$-мезонов составляет примерно $0.825c$ или $2.48 \cdot 10^8$ м/с.