Номер 11.176, страница 230 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Элементарные частицы - номер 11.176, страница 230.

Условие.

11.176. Позитрон и электрон соединяются, образуя два фотона. Считая, что кинетическая энергия частиц до их столкновения была ничтожно мала, найдите:

а) энергию каждого из возникших фотонов;

б) длину волны фотонов.

Решение.

Дано:

$m_e$ - масса электрона

$m_p$ - масса позитрона ($m_p = m_e$)

$K_{e^-} \approx 0$ - кинетическая энергия электрона

$K_{e^+} \approx 0$ - кинетическая энергия позитрона

Перевод в СИ:

$m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

$c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

$h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с (постоянная Планка)

Найти:

а) $E_{\gamma}$ - ?

б) $\lambda_{\gamma}$ - ?

Решение:

Процесс соединения электрона и его античастицы, позитрона, с образованием фотонов называется аннигиляцией. В этом процессе выполняются фундаментальные законы сохранения энергии и импульса.

а) энергию каждого из возникших фотонов

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до аннигиляции равна полной энергии системы после аннигиляции. До аннигиляции полная энергия системы складывается из энергии покоя электрона, энергии покоя позитрона и их кинетических энергий.

$E_{до} = (m_e c^2 + K_{e^-}) + (m_p c^2 + K_{e^+})$

Поскольку масса позитрона равна массе электрона ($m_p = m_e$), а их кинетические энергии по условию задачи ничтожно малы ($K_{e^-} \approx 0$, $K_{e^+} \approx 0$), то полная энергия до столкновения равна сумме энергий покоя двух частиц:

$E_{до} = m_e c^2 + m_e c^2 = 2 m_e c^2$

После аннигиляции образуются два фотона. Полная энергия системы после аннигиляции равна сумме энергий этих фотонов:

$E_{после} = E_{\gamma1} + E_{\gamma2}$

Приравнивая энергию до и после, получаем:

$2 m_e c^2 = E_{\gamma1} + E_{\gamma2}$

Рассмотрим закон сохранения импульса. Так как частицы до столкновения практически покоились (кинетическая энергия ничтожна), их суммарный импульс был равен нулю: $\vec{p}_{до} = 0$.

Суммарный импульс двух фотонов после аннигиляции также должен быть равен нулю: $\vec{p}_{после} = \vec{p}_{\gamma1} + \vec{p}_{\gamma2} = 0$. Это означает, что векторы импульсов фотонов равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{p}_{\gamma1} = - \vec{p}_{\gamma2}$.

Импульс фотона связан с его энергией соотношением $p_{\gamma} = E_{\gamma} / c$. Так как модули импульсов фотонов равны ($p_{\gamma1} = p_{\gamma2}$), то и их энергии должны быть равны:

$E_{\gamma1} = E_{\gamma2} = E_{\gamma}$

Подставим это равенство в уравнение закона сохранения энергии:

$2 m_e c^2 = E_{\gamma} + E_{\gamma} = 2 E_{\gamma}$

Отсюда находим энергию каждого фотона:

$E_{\gamma} = m_e c^2$

Вычислим числовое значение:

$E_{\gamma} = 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} \approx 8.2 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Ответ: Энергия каждого фотона составляет $E_{\gamma} = m_e c^2 \approx 8.2 \cdot 10^{-14}$ Дж.

б) длину волны фотонов

Энергия фотона $E_{\gamma}$ связана с его длиной волны $\lambda_{\gamma}$ формулой Планка:

$E_{\gamma} = \frac{h c}{\lambda_{\gamma}}$

Отсюда выражаем длину волны:

$\lambda_{\gamma} = \frac{h c}{E_{\gamma}}$

Подставив найденное в пункте а) выражение для энергии $E_{\gamma} = m_e c^2$, получаем:

$\lambda_{\gamma} = \frac{h c}{m_e c^2} = \frac{h}{m_e c}$

Эта величина известна как комптоновская длина волны электрона.

Вычислим её значение:

$\lambda_{\gamma} = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 2.43 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Ответ: Длина волны каждого фотона $\lambda_{\gamma} \approx 2.43 \cdot 10^{-12}$ м (или 2.43 пм).