Номер 11.180, страница 231 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Элементарные частицы - номер 11.180, страница 231.

Условие.

11.180. Докажите, что в вакууме фотон с любой, сколь угодно большой энергией не может превратиться в электрон-позитронную пару.

Решение.

Для доказательства того, что фотон в вакууме не может превратиться в электрон-позитронную пару, необходимо применить законы сохранения энергии и импульса в рамках специальной теории относительности. Удобнее всего это сделать, используя формализм 4-импульсов.

Предположим, что такой процесс возможен, и фотон ($ \gamma $) распадается на электрон ($ e^{-} $) и позитрон ($ e^{+} $):

$ \gamma \rightarrow e^{-} + e^{+} $

Решение

Запишем закон сохранения 4-импульса для этого гипотетического процесса. 4-импульс – это четырехмерный вектор $ P = (E/c, \vec{p}) $, где $ E $ – полная энергия, а $ \vec{p} $ – трехмерный импульс. Закон сохранения 4-импульса гласит, что суммарный 4-импульс системы до взаимодействия равен суммарному 4-импульсу после взаимодействия:

$ P_{\gamma} = P_{e^{-}} + P_{e^{+}} $

где $ P_{\gamma} $ – 4-импульс фотона, а $ P_{e^{-}} $ и $ P_{e^{+}} $ – 4-импульсы электрона и позитрона.

Возведем обе части этого векторного уравнения в квадрат (в смысле скалярного произведения в пространстве Минковского). Квадрат 4-импульса является лоренц-инвариантной величиной (одинаковой во всех инерциальных системах отсчета) и связан с массой покоя частицы $ m_0 $ соотношением:

$ P^2 = (E/c)^2 - |\vec{p}|^2 = (m_0 c)^2 $

Применяя это к нашему закону сохранения, получаем:

$ P_{\gamma}^2 = (P_{e^{-}} + P_{e^{+}})^2 $

Рассмотрим левую часть уравнения. Фотон – безмассовая частица, его масса покоя $ m_{\gamma} = 0 $. Следовательно, квадрат его 4-импульса всегда равен нулю:

$ P_{\gamma}^2 = (m_{\gamma} c)^2 = 0 $

Теперь рассмотрим правую часть. Обозначим суммарный 4-импульс рожденной пары как $ P_{пара} = P_{e^{-}} + P_{e^{+}} $. Квадрат этого 4-импульса $ P_{пара}^2 $ также является инвариантом. Удобнее всего вычислить его в системе центра масс (СЦМ) электрон-позитронной пары. В этой системе отсчета по определению суммарный трехмерный импульс пары равен нулю: $ \vec{p}_{пара} = \vec{p}_{e^{-}} + \vec{p}_{e^{+}} = 0 $.

Полная энергия пары в СЦМ равна сумме энергий электрона и позитрона: $ E_{пара} = E_{e^{-}} + E_{e^{+}} $. Электрон и позитрон обладают массой покоя $ m_e > 0 $. Их полная энергия $ E = \sqrt{(pc)^2 + (m_e c^2)^2} $ всегда не меньше энергии покоя $ m_e c^2 $. Таким образом, полная энергия пары в СЦМ строго положительна и не может быть меньше суммарной энергии покоя двух частиц:

$ E_{пара} \ge 2 m_e c^2 > 0 $

Теперь мы можем вычислить квадрат 4-импульса пары в ее системе центра масс:

$ P_{пара}^2 = (E_{пара}/c)^2 - |\vec{p}_{пара}|^2 = (E_{пара}/c)^2 - 0^2 = (E_{пара}/c)^2 $

Подставляя минимальное значение энергии пары, получаем:

$ P_{пара}^2 \ge (2 m_e c^2 / c)^2 = (2 m_e c)^2 > 0 $

Итак, мы получили, что квадрат 4-импульса электрон-позитронной пары всегда является строго положительной величиной.

Вернемся к исходному уравнению, вытекающему из закона сохранения: $ P_{\gamma}^2 = P_{пара}^2 $. Подставляя полученные нами значения, приходим к противоречию:

$ 0 = P_{пара}^2 \ge (2 m_e c)^2 > 0 $

Полученное противоречие ($ 0 > 0 $) означает, что наше первоначальное предположение о возможности такой реакции неверно. Законы сохранения энергии и импульса не могут быть выполнены одновременно для процесса рождения электрон-позитронной пары одним фотоном в вакууме.

Ответ:

Процесс превращения фотона в электрон-позитронную пару в вакууме невозможен, так как он нарушает фундаментальный закон сохранения 4-импульса (объединенный закон сохранения энергии и импульса). Для того чтобы такой процесс стал возможен, необходимо присутствие третьей частицы (например, атомного ядра), которая могла бы воспринять часть импульса и обеспечить выполнение законов сохранения.