Номер 11.178, страница 231 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Элементарные частицы - номер 11.178, страница 231.

Условие.

11.178*. Электрон и позитрон, образованные фотоном с энергией 5,7 МэВ, дают в камере Вильсона, помещённой в магнитное поле, траектории с радиусом кривизны 3 см. Найдите индукцию магнитного поля.

Решение.

Дано:

$E_{ф} = 5,7 \text{ МэВ}$

$R = 3 \text{ см}$

Энергия покоя электрона (и позитрона) $E_0 = m_0 c^2 \approx 0,511 \text{ МэВ}$

Элементарный заряд $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$E_{ф} = 5,7 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 5,7 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 9,13 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

$R = 0,03 \text{ м}$

$E_0 = 0,511 \cdot 10^6 \text{ эВ} \approx 8,186 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Найти:

$\text{B}$

Решение:

При образовании электрон-позитронной пары энергия фотона $E_{ф}$ превращается в полную энергию электрона $E_{e^-}$ и позитрона $E_{e^+}$ в соответствии с законом сохранения энергии:

$E_{ф} = E_{e^-} + E_{e^+}$

Полная энергия каждой частицы складывается из её энергии покоя $E_0 = m_0 c^2$ и кинетической энергии $\text{K}$:

$E_{ф} = (m_0 c^2 + K_{e^-}) + (m_0 c^2 + K_{e^+}) = 2m_0 c^2 + K_{e^-} + K_{e^+}$

Поскольку электрон и позитрон имеют одинаковую массу, а по условию задачи их траектории имеют одинаковый радиус кривизны, то их импульсы и, следовательно, кинетические энергии равны: $K_{e^-} = K_{e^+} = K$.

Тогда закон сохранения энергии принимает вид:

$E_{ф} = 2m_0 c^2 + 2K$

Отсюда найдем кинетическую энергию каждой из образовавшихся частиц:

$K = \frac{E_{ф} - 2m_0 c^2}{2} = \frac{5,7 \text{ МэВ} - 2 \cdot 0,511 \text{ МэВ}}{2} = \frac{4,678 \text{ МэВ}}{2} = 2,339 \text{ МэВ}$

Так как полученная кинетическая энергия сопоставима с энергией покоя, необходимо использовать релятивистские формулы. Связь между полной энергией частицы $E = K + m_0 c^2$ и её импульсом $\text{p}$ дается соотношением:

$E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$

Выразим отсюда импульс частицы:

$(K + m_0 c^2)^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$

$(pc)^2 = K^2 + 2K m_0 c^2$

$pc = \sqrt{K^2 + 2K m_0 c^2}$

Подставим значения энергий в МэВ:

$pc = \sqrt{(2,339)^2 + 2 \cdot 2,339 \cdot 0,511} = \sqrt{5,471 + 2,390} = \sqrt{7,861} \approx 2,804 \text{ МэВ}$

При движении заряженной частицы в магнитном поле на неё действует сила Лоренца, которая сообщает ей центростремительное ускорение. Для релятивистской частицы, движущейся перпендикулярно линиям магнитной индукции, эта сила равна $F_L = evB$, а центростремительная сила $F_ц = \frac{mv^2}{R} = \frac{pv}{R}$, где $p = mv$ - релятивистский импульс.

$evB = \frac{pv}{R}$

Откуда получаем связь между импульсом и радиусом траектории:

$p = eBR$

Выразим индукцию магнитного поля $\text{B}$:

$B = \frac{p}{eR} = \frac{pc}{ecR}$

Для вычисления переведем энергию $\text{pc}$ из МэВ в Джоули:

$pc = 2,804 \text{ МэВ} = 2,804 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 4,492 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Подставим все значения в системе СИ:

$B = \frac{4,492 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 0,03 \text{ м}} \approx \frac{4,492 \cdot 10^{-13}}{1,442 \cdot 10^{-12}} \approx 0,3115 \text{ Тл}$

Ответ: индукция магнитного поля равна приблизительно $0,31 \text{ Тл}$.