Номер 11.179, страница 231 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Элементарные частицы - номер 11.179, страница 231.

Условие.

11.179. В поле тяжёлых ядер фотон может превратиться в электрон-позитронную пару. Найдите минимальную энергию фотона.

Решение.

Дано:

Процесс: превращение фотона в электрон-позитронную пару ($ \gamma \to e^- + e^+ $)

Масса покоя электрона: $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Масса покоя позитрона: $m_p = m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме: $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Энергия покоя электрона: $E_e = m_e c^2 \approx 0.511$ МэВ

Все данные уже представлены в системе СИ или в общепринятых единицах для ядерной физики (МэВ), которые удобны для конечного ответа.

Найти:

Минимальную энергию фотона $E_{\gamma, min}$

Решение:

Превращение фотона в электрон-позитронную пару является примером рождения частиц из энергии. Этот процесс должен подчиняться закону сохранения энергии. Энергия исходного фотона ($E_{\gamma}$) должна быть равна сумме полных энергий рожденных частиц — электрона ($E_e$) и позитрона ($E_p$).

$E_{\gamma} = E_e + E_p$

Полная энергия каждой частицы, в свою очередь, состоит из ее энергии покоя ($E_0 = mc^2$) и кинетической энергии ($\text{K}$).

$E_{\gamma} = (m_e c^2 + K_e) + (m_p c^2 + K_p)$

где $m_e$ и $m_p$ — массы покоя электрона и позитрона, а $K_e$ и $K_p$ — их кинетические энергии.

Минимальная энергия фотона, необходимая для этого процесса, соответствует случаю, когда рожденные частицы (электрон и позитрон) имеют наименьшую возможную кинетическую энергию, то есть когда они покоятся ($K_e = 0$ и $K_p = 0$). В этом случае вся энергия фотона идет на создание масс покоя частиц.

Таким образом, минимальная энергия фотона $E_{\gamma, min}$ равна сумме энергий покоя электрона и позитрона.

$E_{\gamma, min} = m_e c^2 + m_p c^2$

Поскольку позитрон является античастицей электрона, их массы покоя равны ($m_p = m_e$).

$E_{\gamma, min} = 2 m_e c^2$

Подставим числовые значения для вычисления энергии в Джоулях:

$E_{\gamma, min} = 2 \cdot (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 2 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} \approx 1.64 \cdot 10^{-13}$ Дж

В ядерной физике энергию удобнее выражать в мегаэлектронвольтах (МэВ). Энергия покоя одного электрона (или позитрона) составляет $m_e c^2 \approx 0.511$ МэВ.

Тогда минимальная энергия фотона равна:

$E_{\gamma, min} = 2 \cdot (0.511 \text{ МэВ}) = 1.022$ МэВ

Присутствие тяжелого ядра в условии задачи необходимо для выполнения закона сохранения импульса. Фотон не может самопроизвольно распасться на пару в вакууме. Тяжелое ядро воспринимает часть импульса фотона, при этом его кинетическая энергия отдачи пренебрежимо мала из-за большой массы.

Ответ: Минимальная энергия фотона, необходимая для рождения электрон-позитронной пары, составляет $1.022$ МэВ.