Номер 11.182, страница 231 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Элементарные частицы - номер 11.182, страница 231.

Условие.

11.182. Нейтрон и антинейтрон соединяются, образуя два фотона. Найдите энергию каждого из возникших фотонов, считая, что начальная энергия частиц ничтожно мала.

Решение.

Дано:

Процесс: аннигиляция нейтрона ($\text{n}$) и антинейтрона ($\tilde{n}$).

Продукты: два фотона ($\gamma$).

Начальная кинетическая энергия частиц ничтожно мала.

Масса покоя нейтрона $m_n = 1.6749 \times 10^{-27}$ кг.

Скорость света в вакууме $c = 2.998 \times 10^8$ м/с.

Найти:

Энергию каждого фотона $E_{\gamma}$.

Решение:

Процесс аннигиляции нейтрона и антинейтрона можно записать в виде следующей реакции:

$$ n + \tilde{n} \rightarrow \gamma + \gamma $$

В этом процессе должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.

1. Закон сохранения энергии.

Полная энергия системы до аннигиляции ($E_{до}$) равна сумме энергий покоя нейтрона и антинейтрона, так как по условию их начальная кинетическая энергия ничтожно мала. Масса антинейтрона равна массе нейтрона ($m_{\tilde{n}} = m_n$). Энергия покоя каждой частицы вычисляется по формуле Эйнштейна $E=mc^2$.

$$ E_{до} = m_n c^2 + m_{\tilde{n}} c^2 = 2 m_n c^2 $$

Полная энергия системы после аннигиляции ($E_{после}$) равна сумме энергий двух образовавшихся фотонов ($E_{\gamma1}$ и $E_{\gamma2}$).

$$ E_{после} = E_{\gamma1} + E_{\gamma2} $$

Согласно закону сохранения энергии, $E_{до} = E_{после}$:

$$ 2 m_n c^2 = E_{\gamma1} + E_{\gamma2} $$

2. Закон сохранения импульса.

Поскольку начальные частицы покоятся, их суммарный импульс до взаимодействия равен нулю.

$$ \vec{p}_{до} = 0 $$

Следовательно, суммарный импульс двух фотонов после аннигиляции также должен быть равен нулю.

$$ \vec{p}_{после} = \vec{p}_{\gamma1} + \vec{p}_{\gamma2} = 0 $$

Из этого следует, что импульсы фотонов равны по модулю и противоположны по направлению:

$$ \vec{p}_{\gamma1} = - \vec{p}_{\gamma2} \quad \Rightarrow \quad |\vec{p}_{\gamma1}| = |\vec{p}_{\gamma2}| $$

Энергия фотона связана с модулем его импульса соотношением $E_{\gamma} = p_{\gamma}c$. Так как модули импульсов фотонов равны, то и их энергии должны быть равны:

$$ E_{\gamma1} = E_{\gamma2} = E_{\gamma} $$

3. Вычисление энергии фотона.

Подставим равенство энергий фотонов в уравнение закона сохранения энергии:

$$ 2 m_n c^2 = E_{\gamma} + E_{\gamma} = 2 E_{\gamma} $$

Отсюда находим, что энергия каждого фотона равна энергии покоя нейтрона:

$$ E_{\gamma} = m_n c^2 $$

Произведем численный расчет, используя справочные данные:

$$ E_{\gamma} = (1.6749 \times 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (2.998 \times 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 1.5054 \times 10^{-10} \text{ Дж} $$

Часто в ядерной физике энергию выражают в мегаэлектронвольтах (МэВ). Переведем полученное значение, зная, что $1 \text{ эВ} \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж}$.

$$ E_{\gamma} = \frac{1.5054 \times 10^{-10} \text{ Дж}}{1.602 \times 10^{-13} \text{ Дж/МэВ}} \approx 939.7 \text{ МэВ} $$

Ответ: Энергия каждого из возникших фотонов равна энергии покоя нейтрона и составляет $E_{\gamma} \approx 1.505 \times 10^{-10}$ Дж, или $E_{\gamma} \approx 940$ МэВ.