Задание 2, страница 6 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

Колебания математического маятника происходят под действием равнодействующей сил, которая пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия (рис. 2): $F_R = -kx$.

Используя рисунок 2, докажите, что коэффициент пропорциональности между равнодействующей силой, действующей на математический маятник, и смещением равен: $k = \frac{mg}{l}$ (2)

Рис. 2. Силы, вызывающие колебания математического маятника

Дано:

Закон для равнодействующей (возвращающей) силы, действующей на математический маятник: $F_R = -kx$.
$\text{m}$ – масса груза маятника.
$\text{l}$ – длина нити маятника.
$\text{g}$ – ускорение свободного падения.
$\alpha$ – угол отклонения нити от вертикали.
$\text{x}$ – смещение груза от положения равновесия.

Найти:

Доказать, что коэффициент пропорциональности $k = \frac{mg}{l}$.

Решение:

На груз математического маятника, отклоненного от положения равновесия, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_T} = m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{F_H}$.

Разложим силу тяжести $\vec{F_T}$ на две взаимно перпендикулярные составляющие:
1. Составляющая, направленная вдоль нити, $F_{T\parallel} = F_T \cos\alpha = mg \cos\alpha$. Она уравновешивается силой натяжения нити $\vec{F_H}$.
2. Составляющая, направленная по касательной к траектории движения груза, $F_{R} = F_T \sin\alpha = mg \sin\alpha$. Эта сила не скомпенсирована, она и является возвращающей силой, так как ее направление всегда противоположно направлению смещения груза от положения равновесия.

Таким образом, модуль возвращающей силы равен:
$F_R = mg \sin\alpha$

Из рисунка видно, что смещение $\text{x}$ связано с длиной нити $\text{l}$ и углом отклонения $\alpha$ через тригонометрическую функцию синуса для прямоугольного треугольника, образованного нитью, вертикалью и горизонтальным смещением:
$\sin\alpha = \frac{x}{l}$

Это соотношение является точным, если $\text{x}$ — это катет прямоугольного треугольника. Для малых колебаний, при которых выполняется условие $F_R = -kx$ (гармонические колебания), угол $\alpha$ мал. При малых углах смещение по дуге практически совпадает с горизонтальным смещением.

Подставим выражение для $\sin\alpha$ в формулу для модуля возвращающей силы:
$F_R = mg \cdot \frac{x}{l}$

Перепишем это выражение в виде:
$F_R = \left(\frac{mg}{l}\right)x$

Теперь сравним полученное выражение с выражением для модуля возвращающей силы из условия задачи: $F_R = kx$.
$kx = \left(\frac{mg}{l}\right)x$

Сокращая $\text{x}$ (так как $x \neq 0$ вне положения равновесия), получаем искомое выражение для коэффициента пропорциональности $\text{k}$:
$k = \frac{mg}{l}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Возвращающая сила, действующая на маятник, является тангенциальной составляющей силы тяжести, и ее модуль равен $F_R = mg \sin\alpha$. Из геометрии маятника для малых колебаний $\sin\alpha \approx \frac{x}{l}$. Подставляя это соотношение в формулу силы, получаем $F_R = mg \frac{x}{l} = (\frac{mg}{l})x$. Сравнивая это с законом $F_R = kx$, приходим к выводу, что коэффициент пропорциональности $k = \frac{mg}{l}$.