Задание 3, страница 7 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

Определите зависимость коэффициента пропорциональности силы, приводящей в колебательное движение деревянного кубика, от смещения.

Дано:

$\text{x}$ – смещение кубика от положения равновесия;

$\text{S}$ – площадь основания кубика;

$\rho_{ж}$ – плотность жидкости, в которой плавает кубик;

$\text{g}$ – ускорение свободного падения;

$\text{k}$ – искомый коэффициент пропорциональности силы.

Найти:

Зависимость коэффициента $\text{k}$ от смещения $\text{x}$.

Решение:

Рассмотрим деревянный кубик, который плавает в жидкости в состоянии равновесия. В этом состоянии действующая на него сила тяжести, направленная вниз, уравновешена выталкивающей силой Архимеда, направленной вверх.

Если сместить кубик из положения равновесия вертикально вниз на небольшое расстояние $\text{x}$, то объем его погруженной части увеличится на величину $\Delta V$. Если $\text{S}$ – площадь основания кубика, то это увеличение объема составит:

$\Delta V = S \cdot x$

Согласно закону Архимеда, это дополнительное погружение создаст дополнительную выталкивающую силу $\Delta F_А$, направленную вверх:

$\Delta F_А = \rho_{ж} \cdot g \cdot \Delta V = \rho_{ж} \cdot g \cdot S \cdot x$

Эта сила $\Delta F_А$ является возвращающей силой $F_{возвр}$, так как она стремится вернуть кубик в положение равновесия. Направление возвращающей силы всегда противоположно направлению смещения. Если мы считаем смещение $\text{x}$ вниз положительным, то возвращающая сила, направленная вверх, будет отрицательной. Таким образом, зависимость силы от смещения можно записать в виде:

$F_{возвр} = -(\rho_{ж} \cdot g \cdot S) \cdot x$

Сила, приводящая тело в колебательное движение, в общем виде описывается законом $F = -k \cdot x$, где $\text{k}$ – коэффициент пропорциональности (жесткость системы). Сравнивая это общее выражение с полученным нами уравнением для возвращающей силы, находим коэффициент пропорциональности $\text{k}$:

$k = \rho_{ж} \cdot g \cdot S$

Из полученного выражения видно, что коэффициент пропорциональности $\text{k}$ зависит от плотности жидкости $\rho_{ж}$, ускорения свободного падения $\text{g}$ и площади основания кубика $\text{S}$. Все эти величины являются постоянными для данной системы (конкретный кубик в конкретной жидкости). Следовательно, сам коэффициент $\text{k}$ не зависит от величины смещения $\text{x}$.

Ответ: Коэффициент пропорциональности силы, приводящей в колебательное движение деревянный кубик, не зависит от смещения. Он является постоянной величиной для данной системы, определяемой плотностью жидкости и геометрическими размерами кубика ($k = \rho_{ж} \cdot g \cdot S$).