Эксперимент, страница 8 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Эксперимент

Определите амплитуду и период колебаний пружинного маятника, максимальные значения скорости и ускорения, максимальное значение силы, действующей на тело.

По полученным значениям постройте графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени для маятника.

Для выполнения данного экспериментального задания необходимо провести измерения или воспользоваться заданными параметрами. Предположим, что в ходе эксперимента с пружинным маятником были получены следующие данные:

Дано:

Масса груза, $m = 200$ г
Жесткость пружины, $k = 20$ Н/м
Начальное смещение от положения равновесия, $x_{max} = 5$ см
Время $N=10$ полных колебаний, $t = 6.28$ с

Перевод в систему СИ:
$m = 0.2$ кг
$A = x_{max} = 0.05$ м
$t = 6.28$ с

Найти:

$\text{A}$ – амплитуда колебаний
$\text{T}$ – период колебаний
$v_{max}$ – максимальная скорость
$a_{max}$ – максимальное ускорение
$F_{max}$ – максимальная сила
Уравнения и описание графиков $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$

Решение:

Определение амплитуды и периода колебаний пружинного маятника

Амплитуда колебаний $\text{A}$ – это максимальное отклонение тела от положения равновесия. В нашем эксперименте тело было смещено на 5 см и отпущено без начальной скорости, следовательно, это значение и является амплитудой.
$A = x_{max} = 0.05$ м.

Период колебаний $\text{T}$ – это время одного полного колебания. Его можно найти, разделив общее время колебаний $\text{t}$ на число колебаний $\text{N}$.
$T = \frac{t}{N} = \frac{6.28 \, \text{с}}{10} = 0.628$ с.

Ответ: Амплитуда колебаний $A = 0.05$ м, период колебаний $T = 0.628$ с.

Определение максимальных значений скорости и ускорения

Для расчета максимальных значений скорости и ускорения сначала найдем циклическую (угловую) частоту колебаний $\omega$.
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \cdot 3.14}{0.628 \, \text{с}} = \frac{6.28}{0.628 \, \text{с}} = 10$ рад/с.

Максимальная скорость $v_{max}$ достигается при прохождении телом положения равновесия ($x=0$) и вычисляется по формуле:
$v_{max} = A \cdot \omega = 0.05 \, \text{м} \cdot 10 \, \text{рад/с} = 0.5$ м/с.

Максимальное ускорение $a_{max}$ достигается в точках максимального отклонения ($x = \pm A$) и вычисляется по формуле:
$a_{max} = A \cdot \omega^2 = 0.05 \, \text{м} \cdot (10 \, \text{рад/с})^2 = 0.05 \cdot 100 = 5$ м/с².

Ответ: Максимальная скорость $v_{max} = 0.5$ м/с, максимальное ускорение $a_{max} = 5$ м/с².

Определение максимального значения силы, действующей на тело

Максимальная сила $F_{max}$, действующая на тело, соответствует максимальному ускорению или максимальному растяжению пружины. Ее можно найти двумя способами:
1. По второму закону Ньютона: $F_{max} = m \cdot a_{max}$.
$F_{max} = 0.2 \, \text{кг} \cdot 5 \, \text{м/с}^2 = 1$ Н.
2. По закону Гука для пружины: $F_{max} = k \cdot A$.
$F_{max} = 20 \, \text{Н/м} \cdot 0.05 \, \text{м} = 1$ Н.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Максимальное значение силы $F_{max} = 1$ Н.

Построение графиков зависимости координаты, скорости и ускорения от времени

Запишем уравнения движения. Поскольку колебания начинаются из точки максимального отклонения ($x(0) = A$), начальная фаза равна нулю ($\phi_0 = 0$).

1. Зависимость координаты от времени $x(t)$:
Уравнение: $x(t) = A \cos(\omega t) = 0.05 \cos(10t)$.
График представляет собой косинусоиду с амплитудой $A=0.05$ м и периодом $T=0.628$ с. В момент $t=0$, координата максимальна и равна $x(0)=0.05$ м. В момент $t=T/2=0.314$ с, координата минимальна и равна $x(T/2)=-0.05$ м.

2. Зависимость скорости от времени $v(t)$:
Уравнение: $v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t) = -0.5 \sin(10t)$.
График представляет собой синусоиду, инвертированную относительно оси времени, с амплитудой $v_{max}=0.5$ м/с и периодом $T=0.628$ с. График сдвинут по фазе на $-\pi/2$ (отстает на четверть периода) относительно графика координаты. В момент $t=0$, скорость равна нулю. В момент $t=T/4=0.157$ с, скорость максимальна по модулю и отрицательна: $v(T/4)=-0.5$ м/с.

3. Зависимость ускорения от времени $a(t)$:
Уравнение: $a(t) = v'(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t) = -5 \cos(10t)$.
График представляет собой косинусоиду, инвертированную относительно оси времени, с амплитудой $a_{max}=5$ м/с² и периодом $T=0.628$ с. Колебания ускорения происходят в противофазе с колебаниями координаты. В момент $t=0$, ускорение максимально по модулю и отрицательно: $a(0)=-5$ м/с². В момент $t=T/2=0.314$ с, ускорение максимально и положительно: $a(T/2)=5$ м/с².

Ответ: Графики зависимостей представляют собой гармонические функции (косинус и синус) с периодом $T=0.628$ с и амплитудами $A=0.05$ м, $v_{max}=0.5$ м/с, $a_{max}=5$ м/с² соответственно. Уравнения движения: $x(t) = 0.05 \cos(10t)$, $v(t) = -0.5 \sin(10t)$, $a(t) = -5 \cos(10t)$.