Задание 9, страница 9 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 9

1. По графику, изображенному на рисунке 4, определите амплитуду, период, частоту и циклическую частоту колебаний.

2. Запишите закон колебательного движения.

3. Определите максимальные значения скорости и ускорения.

4. Запишите уравнения зависимости скорости и ускорения от времени.

Рис. 4. График зависимости координаты тела от времени

Дано:

Из графика зависимости координаты тела от времени:

Максимальное смещение $x_{max} = 0,3 \text{ см}$

Период колебаний $T = 2 \text{ с}$

Перевод в СИ:

Амплитуда $A = x_{max} = 0,3 \text{ см} = 0,003 \text{ м}$

Период $T = 2 \text{ с}$

Найти:

1. Амплитуду $\text{A}$, период $\text{T}$, частоту $ν$ и циклическую частоту $ω$.

2. Закон колебательного движения $x(t)$.

3. Максимальные значения скорости $v_{max}$ и ускорения $a_{max}$.

4. Уравнения зависимости скорости $v(t)$ и ускорения $a(t)$ от времени.

Решение:

1. По графику, изображенному на рисунке 4, определите амплитуду, период, частоту и циклическую частоту колебаний.

Амплитуда колебаний ($\text{A}$) — это максимальное отклонение от положения равновесия. Из графика видно, что максимальное значение координаты $x_{max} = 0,3 \text{ см}$.

$A = 0,3 \text{ см} = 0,003 \text{ м}$.

Период колебаний ($\text{T}$) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Из графика видно, что тело начинает движение из точки максимального отклонения ($t=0$) и возвращается в нее при $t=2 \text{ с}$.

$T = 2 \text{ с}$.

Частота колебаний ($ν$) — это число колебаний в единицу времени. Она связана с периодом соотношением $ν = \frac{1}{T}$.

$ν = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0,5 \text{ Гц}$.

Циклическая (круговая) частота ($ω$) связана с периодом соотношением $ω = \frac{2π}{T}$.

$ω = \frac{2π}{2 \text{ с}} = π \text{ рад/с} \approx 3,14 \text{ рад/с}$.

Ответ: Амплитуда $A = 0,3 \text{ см}$ (или $0,003 \text{ м}$), период $T = 2 \text{ с}$, частота $ν = 0,5 \text{ Гц}$, циклическая частота $ω = π \text{ рад/с}$.

2. Запишите закон колебательного движения.

Закон гармонического колебания в общем виде: $x(t) = A \cos(ωt + φ_0)$, где $φ_0$ — начальная фаза.

Из графика видно, что в начальный момент времени $t=0$ координата тела максимальна и равна амплитуде ($x(0) = A$). Это соответствует движению по закону косинуса с начальной фазой, равной нулю ($φ_0 = 0$).

$x(t) = A \cos(ωt)$.

Подставим найденные значения $\text{A}$ и $ω$ в единицах СИ:

$x(t) = 0,003 \cos(πt)$.

Ответ: Закон колебательного движения в СИ: $x(t) = 0,003 \cos(πt)$.

3. Определите максимальные значения скорости и ускорения.

Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) находится по формуле $v_{max} = Aω$.

$v_{max} = 0,003 \text{ м} \cdot π \frac{\text{рад}}{\text{с}} = 0,003π \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 0,0094 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Максимальное значение ускорения (амплитуда ускорения) находится по формуле $a_{max} = Aω^2$.

$a_{max} = 0,003 \text{ м} \cdot (π \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2 = 0,003π^2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0,0296 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Ответ: Максимальная скорость $v_{max} = 0,003π \text{ м/с} \approx 0,0094 \text{ м/с}$. Максимальное ускорение $a_{max} = 0,003π^2 \text{ м/с}^2 \approx 0,0296 \text{ м/с}^2$.

4. Запишите уравнения зависимости скорости и ускорения от времени.

Уравнение скорости $v(t)$ является первой производной от уравнения координаты $x(t)$ по времени:

$v(t) = x'(t) = (A \cos(ωt))' = -Aω \sin(ωt)$.

Подставив числовые значения, получим:

$v(t) = -0,003π \sin(πt)$ (в м/с).

Уравнение ускорения $a(t)$ является первой производной от уравнения скорости $v(t)$ по времени:

$a(t) = v'(t) = (-Aω \sin(ωt))' = -Aω^2 \cos(ωt)$.

Подставив числовые значения, получим:

$a(t) = -0,003π^2 \cos(πt)$ (в м/с²).

Ответ: Уравнение зависимости скорости от времени: $v(t) = -0,003π \sin(πt)$. Уравнение зависимости ускорения от времени: $a(t) = -0,003π^2 \cos(πt)$.