Номер 2, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Грузик, прикрепленный к пружине, совершает гармонические колебания с амплитудой 0,1 м и периодом 1,57 с. Определите максимальное ускорение грузика во время его движения.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 0,1$ м

Период колебаний, $T = 1,57$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальное ускорение грузика, $a_{max}$

Решение:

Гармонические колебания грузика описываются уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $\text{x}$ — смещение от положения равновесия, $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (или угловая) частота, $\text{t}$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Скорость грузика является первой производной от координаты по времени:

$v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Ускорение грузика является второй производной от координаты по времени (или первой производной от скорости):

$a(t) = v'(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$

Максимальное значение ускорения (по модулю) достигается, когда $|\cos(\omega t + \phi_0)|$ равен 1. В этот момент смещение грузика максимально, то есть равно амплитуде.

Таким образом, формула для максимального ускорения имеет вид:

$a_{max} = A\omega^2$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $\text{T}$ следующим соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим выражение для циклической частоты в формулу максимального ускорения:

$a_{max} = A \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи. Заметим, что $1,57 \approx \frac{\pi}{2}$. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

$a_{max} = 0,1 \text{ м} \cdot \left(\frac{2 \cdot 3,14}{1,57 \text{ с}}\right)^2 = 0,1 \text{ м} \cdot \left(\frac{6,28}{1,57 \text{ с}}\right)^2 = 0,1 \text{ м} \cdot (4 \text{ с}^{-1})^2$

$a_{max} = 0,1 \text{ м} \cdot 16 \text{ с}^{-2} = 1,6 \text{ м/с}^2$

Ответ: максимальное ускорение грузика составляет $1,6 \text{ м/с}^2$.