Номер 6, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

6. Материальная точка совершает колебания по закону: $x = 0,4 \sin\pi(2t - 1/2)$. Определите зависимость скорости точки от времени и скорость точки в момент времени $t_1 = 2 \text{ с}$. Постройте график зависимости скорости точки от времени.

Дано:

Закон колебаний материальной точки: $x(t) = 0,4 \sin(\pi(2t - 1/2))$

Момент времени: $t_1 = 2$ с

Все величины даны в Международной системе единиц (СИ): смещение $\text{x}$ в метрах (м), время $\text{t}$ в секундах (с).

Найти:

1. Зависимость скорости от времени $v(t)$.

2. Скорость точки в момент времени $t_1$, т.е. $v(t_1)$.

3. Построить график зависимости $v(t)$.

Решение:

Преобразуем исходное уравнение движения к стандартному виду $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, раскрыв скобки в аргументе синуса:

$x(t) = 0,4 \sin(2\pi t - \pi/2)$

Отсюда мы можем определить параметры гармонического колебания:

Амплитуда: $A = 0,4$ м.

Циклическая частота: $\omega = 2\pi$ рад/с.

Начальная фаза: $\phi_0 = -\pi/2$ рад.

1. Зависимость скорости точки от времени

Скорость материальной точки $v(t)$ является первой производной от ее координаты $x(t)$ по времени $\text{t}$.

$v(t) = x'(t) = \frac{dx}{dt}$

Найдем производную от заданного уравнения движения:

$v(t) = \frac{d}{dt} (0,4 \sin(2\pi t - \pi/2))$

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$v(t) = 0,4 \cdot \cos(2\pi t - \pi/2) \cdot (2\pi t - \pi/2)'$

$v(t) = 0,4 \cdot \cos(2\pi t - \pi/2) \cdot 2\pi$

$v(t) = 0,8\pi \cos(2\pi t - \pi/2)$

Это и есть искомая зависимость скорости от времени. Единица измерения скорости — м/с.

Ответ: Зависимость скорости точки от времени описывается уравнением $v(t) = 0,8\pi \cos(2\pi t - \pi/2)$ м/с.

2. Скорость точки в момент времени $t_1 = 2$ с

Для нахождения скорости в заданный момент времени подставим значение $t_1 = 2$ с в полученное уравнение для $v(t)$:

$v(2) = 0,8\pi \cos(2\pi \cdot 2 - \pi/2)$

$v(2) = 0,8\pi \cos(4\pi - \pi/2)$

Так как функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, то $\cos(4\pi - \pi/2) = \cos(-\pi/2)$.

Также, косинус — четная функция, поэтому $\cos(-\pi/2) = \cos(\pi/2)$.

Значение $\cos(\pi/2)$ равно 0.

$v(2) = 0,8\pi \cdot 0 = 0$ м/с.

Ответ: Скорость точки в момент времени $t_1 = 2$ с равна 0 м/с.

3. График зависимости скорости точки от времени

Для построения графика зависимости $v(t)$ удобно упростить полученное уравнение, используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha - \pi/2) = \sin(\alpha)$.

$v(t) = 0,8\pi \cos(2\pi t - \pi/2) = 0,8\pi \sin(2\pi t)$

График этой зависимости представляет собой синусоиду. Определим ее основные характеристики:

• Амплитуда колебаний скорости ($v_{max}$) — это максимальное значение скорости, равное коэффициенту перед синусом: $v_{max} = 0,8\pi \approx 0,8 \cdot 3,14 \approx 2,51$ м/с. Скорость будет изменяться в пределах от $-0,8\pi$ м/с до $+0,8\pi$ м/с.

• Период колебаний ($\text{T}$) определяется по формуле $T = 2\pi / \omega$. В нашем случае $\omega = 2\pi$ рад/с, следовательно:

$T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ с.

• Ключевые точки для построения одного периода графика:

- При $t = 0$ с: $v(0) = 0,8\pi \sin(0) = 0$ м/с. График начинается в начале координат.

- При $t = T/4 = 0,25$ с: $v(0,25) = 0,8\pi \sin(2\pi \cdot 0,25) = 0,8\pi \sin(\pi/2) = 0,8\pi$ м/с (максимальная скорость).

- При $t = T/2 = 0,5$ с: $v(0,5) = 0,8\pi \sin(2\pi \cdot 0,5) = 0,8\pi \sin(\pi) = 0$ м/с.

- При $t = 3T/4 = 0,75$ с: $v(0,75) = 0,8\pi \sin(2\pi \cdot 0,75) = 0,8\pi \sin(3\pi/2) = -0,8\pi$ м/с (минимальная, т.е. максимальная по модулю отрицательная скорость).

- При $t = T = 1$ с: $v(1) = 0,8\pi \sin(2\pi) = 0$ м/с (завершение одного полного колебания).

Ответ: График зависимости скорости от времени — это синусоида с амплитудой $v_{max} = 0,8\pi \approx 2,51$ м/с и периодом $T = 1$ с. График выходит из начала координат $(0,0)$, достигает максимума в точке $(0,25; 0,8\pi)$, пересекает ось времени в точке $(0,5; 0)$, достигает минимума в точке $(0,75; -0,8\pi)$ и возвращается к нулю в точке $(1,0)$.