Номер 4, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4*. Человек массой 80 кг наступил на плоскую льдину, плавающую в воде, и льдина вместе с человеком начала колебаться с периодом 2 с. Определите толщину льдины, если площадь ее верхней поверхности равна $1\ \text{м}^2$, а плотность льда – $900\ \text{кг}/\text{м}^3$.

Дано:

Масса человека $M = 80$ кг
Период колебаний $T = 2$ с
Площадь льдины $S = 1$ м²
Плотность льда $\rho_{льда} = 900$ кг/м³
Также используем стандартное значение плотности пресной воды $\rho_{воды} = 1000$ кг/м³.

Найти:

Толщину льдины $\text{h}$.

Решение:

Колебания льдины с человеком на ней являются гармоническими. Возвращающая сила, которая заставляет систему колебаться, — это изменение силы Архимеда при вертикальном смещении льдины из положения равновесия.
Когда льдина смещается вниз на расстояние $\text{x}$ от положения равновесия, объем ее погруженной части увеличивается на $\Delta V = S \cdot x$. Это создает дополнительную выталкивающую силу $\Delta F_A$, направленную вверх:
$\Delta F_A = \rho_{воды} g \Delta V = \rho_{воды} g S x$
Эта сила является возвращающей, поэтому для нее можно записать (со знаком минус, так как она направлена против смещения):
$F_{возвр} = -(\rho_{воды} g S) x$
Данное выражение соответствует закону Гука $F = -kx$, где роль коэффициента жесткости (упругости) $\text{k}$ играет величина $k = \rho_{воды} g S$.
Период гармонических колебаний определяется по формуле:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_{общ}}{k}}$
Здесь $m_{общ}$ — это общая масса колеблющейся системы, которая складывается из массы человека $\text{M}$ и массы льдины $m_{льда}$:
$m_{общ} = M + m_{льда}$
Массу льдины выразим через ее плотность $\rho_{льда}$, площадь $\text{S}$ и искомую толщину $\text{h}$:
$m_{льда} = \rho_{льда} \cdot V_{льда} = \rho_{льда} S h$
Теперь подставим выражения для $m_{общ}$ и $\text{k}$ в формулу периода:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{M + \rho_{льда} S h}{\rho_{воды} g S}}$
Чтобы найти $\text{h}$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$T^2 = 4\pi^2 \frac{M + \rho_{льда} S h}{\rho_{воды} g S}$
Выразим из этого уравнения $\text{h}$:
$T^2 \rho_{воды} g S = 4\pi^2 (M + \rho_{льда} S h)$
$\frac{T^2 \rho_{воды} g S}{4\pi^2} = M + \rho_{льда} S h$
$\rho_{льда} S h = \frac{T^2 \rho_{воды} g S}{4\pi^2} - M$
$h = \frac{1}{\rho_{льда} S} \left( \frac{T^2 \rho_{воды} g S}{4\pi^2} - M \right) = \frac{T^2 \rho_{воды} g}{4\pi^2 \rho_{льда}} - \frac{M}{\rho_{льда} S}$
Для упрощения вычислений воспользуемся распространенным в физических задачах приближением $g \approx \pi^2$ м/с². Тогда $\frac{g}{4\pi^2} = \frac{\pi^2}{4\pi^2} = \frac{1}{4}$.
Формула для $\text{h}$ примет вид:
$h = \frac{T^2 \rho_{воды}}{4 \rho_{льда}} - \frac{M}{\rho_{льда} S}$
Подставим числовые значения из условия задачи:
$h = \frac{(2 \text{ с})^2 \cdot 1000 \text{ кг/м³}}{4 \cdot 900 \text{ кг/м³}} - \frac{80 \text{ кг}}{900 \text{ кг/м³} \cdot 1 \text{ м²}}$
$h = \frac{4 \cdot 1000}{3600} \text{ м} - \frac{80}{900} \text{ м}$
$h = \frac{4000}{3600} \text{ м} - \frac{80}{900} \text{ м} = \frac{10}{9} \text{ м} - \frac{8}{90} \text{ м}$
Приведем дроби к общему знаменателю 90:
$h = \frac{100}{90} \text{ м} - \frac{8}{90} \text{ м} = \frac{92}{90} \text{ м} = \frac{46}{45} \text{ м}$
$h \approx 1.022$ м.
Округлим результат до сотых.

Ответ: толщина льдины составляет примерно 1,02 м.