Экспериментальное задание, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Экспериментальное задание

Определите амплитуду и период колебаний маятника часов.

По полученным значениям постройте графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени для маятника.

Это экспериментальное задание, для выполнения которого необходимо провести измерения на реальном маятнике часов или использовать гипотетические, но реалистичные данные. Проведем решение, используя типичные значения для маятника в настенных или напольных часах.

Определение амплитуды и периода колебаний маятника часов

1. Определение амплитуды (A): Амплитуда — это максимальное отклонение маятника от положения равновесия. Для ее измерения можно использовать линейку. Расположив линейку горизонтально на уровне нижнего положения маятника (положение равновесия), можно измерить максимальное расстояние, на которое он отклоняется в сторону. Предположим, в результате измерения мы получили значение 5 см.

2. Определение периода (T): Период — это время одного полного колебания (например, от крайнего правого положения до крайнего левого и обратно в правое). Для точного измерения периода следует замерить время $\text{t}$ для большого числа полных колебаний $\text{N}$ (например, $N=20$) с помощью секундомера. Период рассчитывается по формуле $T = t/N$. Многие маятниковые часы, особенно так называемые "секундные маятники", имеют период, близкий к 2 секундам. Примем это значение для наших расчетов.

Таким образом, наши экспериментальные данные:
Амплитуда колебаний $A = 5 \text{ см}$.
Период колебаний $T = 2 \text{ с}$.

Ответ: Амплитуда колебаний маятника принята равной $A = 5 \text{ см}$, период колебаний принят равным $T = 2 \text{ с}$.

Построение графиков зависимости координаты, скорости и ускорения от времени

Для построения графиков необходимо сначала получить уравнения, описывающие зависимость этих величин от времени.

Дано:

$A = 5 \text{ см}$

$T = 2 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:
$A = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Уравнения и графики зависимостей $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$.

Решение:

Колебания маятника часов можно с хорошей точностью считать гармоническими. Уравнение гармонических колебаний для координаты $\text{x}$ в общем виде: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$.
Выберем начало отсчета времени ($t=0$) в момент, когда маятник находится в крайнем правом положении, то есть его смещение максимально и положительно ($x(0) = +A$). В этом случае начальная фаза $\phi_0 = 0$.
Уравнение для координаты примет вид: $x(t) = A \cos(\omega t)$.

1. Найдем циклическую частоту $\omega$:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2 \text{ с}} = \pi \text{ рад/с}$.

2. Запишем уравнение для координаты $x(t)$:
$x(t) = 0.05 \cos(\pi t) \text{ (м)}$.
Это косинусоида с амплитудой $0.05$ м и периодом $T = 2$ с.

3. Найдем уравнение для скорости $v(t)$. Скорость — это первая производная от координаты по времени:
$v(t) = x'(t) = (A \cos(\omega t))' = -A\omega \sin(\omega t)$.
Подставим наши значения:
$v(t) = -0.05 \cdot \pi \sin(\pi t) \approx -0.157 \sin(\pi t) \text{ (м/с)}$.
Амплитуда скорости $v_{max} = A\omega = 0.05 \cdot \pi \approx 0.157 \text{ м/с}$.
Это синусоида, инвертированная относительно оси времени (знак минус), с амплитудой $0.157$ м/с и периодом $T=2$ с. График скорости сдвинут по фазе относительно графика координаты на $-\pi/2$ (скорость достигает максимума, когда координата равна нулю).

4. Найдем уравнение для ускорения $a(t)$. Ускорение — это первая производная от скорости по времени:
$a(t) = v'(t) = (-A\omega \sin(\omega t))' = -A\omega^2 \cos(\omega t)$.
Подставим наши значения:
$a(t) = -0.05 \cdot \pi^2 \cos(\pi t) \approx -0.493 \cos(\pi t) \text{ (м/с}^2)$.
Амплитуда ускорения $a_{max} = A\omega^2 = 0.05 \cdot \pi^2 \approx 0.493 \text{ м/с}^2$.
Это косинусоида, инвертированная относительно оси времени (находится в противофазе с координатой). Амплитуда равна $0.493 \text{ м/с}^2$, период $T=2$ с.

Описание графиков:

График зависимости координаты от времени $x(t) = 0.05 \cos(\pi t)$:
- Тип: косинусоида. Ось ординат — $\text{x}$ (м), ось абсцисс — $\text{t}$ (с).
- $t=0 \text{ с}: x = 0.05 \text{ м}$ (максимум).
- $t=0.5 \text{ с}: x = 0 \text{ м}$ (положение равновесия).
- $t=1 \text{ с}: x = -0.05 \text{ м}$ (минимум).
- $t=1.5 \text{ с}: x = 0 \text{ м}$ (положение равновесия).
- $t=2 \text{ с}: x = 0.05 \text{ м}$ (завершен полный период).

График зависимости скорости от времени $v(t) = -0.157 \sin(\pi t)$:
- Тип: инвертированная синусоида. Ось ординат — $\text{v}$ (м/с), ось абсцисс — $\text{t}$ (с).
- $t=0 \text{ с}: v = 0 \text{ м/с}$.
- $t=0.5 \text{ с}: v \approx -0.157 \text{ м/с}$ (максимальная скорость в отрицательном направлении).
- $t=1 \text{ с}: v = 0 \text{ м/с}$.
- $t=1.5 \text{ с}: v \approx 0.157 \text{ м/с}$ (максимальная скорость в положительном направлении).
- $t=2 \text{ с}: v = 0 \text{ м/с}$.

График зависимости ускорения от времени $a(t) = -0.493 \cos(\pi t)$:
- Тип: инвертированная косинусоида (в противофазе с координатой). Ось ординат — $\text{a}$ (м/с²), ось абсцисс — $\text{t}$ (с).
- $t=0 \text{ с}: a \approx -0.493 \text{ м/с}^2$ (максимальное по модулю, направлено к центру).
- $t=0.5 \text{ с}: a = 0 \text{ м/с}^2$.
- $t=1 \text{ с}: a \approx 0.493 \text{ м/с}^2$ (максимальное по модулю, направлено к центру).
- $t=1.5 \text{ с}: a = 0 \text{ м/с}^2$.
- $t=2 \text{ с}: a \approx -0.493 \text{ м/с}^2$.

Ответ:
Уравнения движения для маятника:
Координата: $x(t) = 0.05 \cos(\pi t)$ (м).
Скорость: $v(t) = -0.05\pi \sin(\pi t)$ (м/с).
Ускорение: $a(t) = -0.05\pi^2 \cos(\pi t)$ (м/с²).
Графики этих зависимостей представляют собой косинусоиду для координаты, инвертированную синусоиду для скорости (сдвиг по фазе на $-\pi/2$ относительно координаты) и инвертированную косинусоиду для ускорения (сдвиг по фазе на $-\pi$ относительно координаты). Все графики имеют период $T=2$ с.