Номер 1, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

1. Шарик совершает гармонические колебания с амплитудой 0,1 м. В начальный момент времени он находится в положении равновесия. Определите смещение шарика от положения равновесия в момент времени, равный $t = T/12$ (периода).

1. Дано:

Амплитуда колебаний $A = 0,1$ м

Начальный момент времени $t_0 = 0$

Начальное смещение $x(0) = 0$ (положение равновесия)

Момент времени для расчета $t = T/12$, где $\text{T}$ - период колебаний.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Смещение шарика $\text{x}$ в момент времени $t=T/12$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как:

$x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$

где $x(t)$ — смещение от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Из условия задачи известно, что в начальный момент времени ($t=0$) шарик находится в положении равновесия ($x(0)=0$). Подставим эти значения в уравнение:

$0 = A \cdot \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0)$

$0 = A \cdot \sin(\phi_0)$

Поскольку амплитуда $\text{A}$ не равна нулю ($A=0,1$ м), то $\sin(\phi_0) = 0$. Это возможно, если начальная фаза $\phi_0 = 0$ или $\phi_0 = \pi$. Выберем простейший случай $\phi_0 = 0$, что соответствует началу движения из положения равновесия в сторону положительных значений смещения. Тогда уравнение колебаний принимает вид:

$x(t) = A \cdot \sin(\omega t)$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение для частоты в уравнение смещения:

$x(t) = A \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$

Теперь найдем смещение шарика в момент времени $t = T/12$. Для этого подставим в полученное уравнение значения $A = 0,1$ м и $t = T/12$:

$x\left(\frac{T}{12}\right) = 0,1 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}\right)$

Сократим $\text{T}$ в аргументе синуса:

$x\left(\frac{T}{12}\right) = 0,1 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) = 0,1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Значение синуса угла $\frac{\pi}{6}$ радиан (что соответствует 30°) равно $\frac{1}{2}$:

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} = 0,5$

Вычислим итоговое значение смещения:

$x = 0,1 \cdot 0,5 = 0,05$ м

Ответ: смещение шарика от положения равновесия в момент времени $t=T/12$ составляет 0,05 м.