Номер 5, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5. Материальная точка совершает колебания по закону: $x = 0,4 \cos(2t + 1/2)$. Постройте график зависимости координаты точки от времени.

Дано:

Уравнение колебаний материальной точки:

$x = 0,4 \cos(\pi(2t + 1/2))$

Все величины даны в системе СИ. Таким образом, координата x измеряется в метрах (м), а время t - в секундах (с).

Найти:

Построить график зависимости координаты точки от времени, x(t).

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний:

$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$

где A — амплитуда, ω — циклическая частота, φ₀ — начальная фаза.

Преобразуем данное в условии уравнение, раскрыв скобки в аргументе косинуса:

$x(t) = 0,4 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2})$

Сравнивая полученное уравнение с общим видом, находим параметры колебаний:

• Амплитуда $A = 0,4$ м. Это максимальное отклонение точки от положения равновесия.
• Циклическая частота $\omega = 2\pi$ рад/с.
• Начальная фаза $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$ рад.

Зная циклическую частоту, можем найти период колебаний T:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ с.

Для упрощения построения графика воспользуемся формулой приведения: $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha)$.

Подставив $\alpha = 2\pi t$, получаем:

$x(t) = 0,4 \cos(2\pi t + \frac{\pi}{2}) = -0,4 \sin(2\pi t)$

Таким образом, график зависимости x(t) представляет собой синусоиду, инвертированную (отраженную относительно оси времени), с амплитудой 0,4 м и периодом 1 с.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек в течение одного периода ($T=1$ с):

• При $t=0$: $x(0) = -0,4 \sin(0) = 0$.
• При $t = T/4 = 0,25$ с: $x(0,25) = -0,4 \sin(2\pi \cdot 0,25) = -0,4 \sin(\frac{\pi}{2}) = -0,4$ м (точка в положении максимального отрицательного смещения).
• При $t = T/2 = 0,5$ с: $x(0,5) = -0,4 \sin(2\pi \cdot 0,5) = -0,4 \sin(\pi) = 0$ (прохождение положения равновесия).
• При $t = 3T/4 = 0,75$ с: $x(0,75) = -0,4 \sin(2\pi \cdot 0,75) = -0,4 \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0,4$ м (точка в положении максимального положительного смещения).
• При $t = T = 1$ с: $x(1) = -0,4 \sin(2\pi \cdot 1) = 0$ (завершение одного полного колебания).

На основе этих точек строим график зависимости координаты от времени.

Ответ:

График зависимости координаты точки от времени x(t) построен выше. Он представляет собой график функции $x(t) = -0,4 \sin(2\pi t)$, то есть синусоиду с амплитудой 0,4 м и периодом 1 с, отраженную относительно оси времени.