Задание 1, страница 14 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

1. Сравните уравнение (14) из § 1, описывающее механическое колебание с уравнением (6) для электромагнитных колебаний.

2. На основе аналогии величин запишите законы изменения заряда на обкладках конденсатора.

1. Сравните уравнение (14) из § 1, описывающее механическое колебание с уравнением (6) для электромагнитных колебаний.

Уравнение (14) из § 1, описывающее свободные незатухающие механические колебания (например, пружинного маятника), имеет вид:
$x'' + \frac{k}{m}x = 0$
где $\text{x}$ – смещение тела от положения равновесия, $\text{m}$ – масса тела, $\text{k}$ – жесткость пружины, а $x''$ – вторая производная смещения по времени (ускорение).

Уравнение (6) для свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) имеет вид:
$q'' + \frac{1}{LC}q = 0$
где $\text{q}$ – заряд на обкладках конденсатора, $\text{L}$ – индуктивность катушки, $\text{C}$ – емкость конденсатора, а $q''$ – вторая производная заряда по времени.

При сравнении этих двух дифференциальных уравнений видно, что они имеют совершенно одинаковую математическую структуру. Оба являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка. Это означает, что процессы, которые они описывают, – механические и электромагнитные колебания – математически аналогичны.

На основе этого можно установить соответствие (аналогию) между физическими величинами, характеризующими эти два процесса:
- Координата $\text{x}$ (смещение) в механической системе аналогична заряду $\text{q}$ в электрической системе.
- Масса $\text{m}$, характеризующая инертность тела в механической системе, аналогична индуктивности $\text{L}$, которая характеризует "электромагнитную инертность" контура.
- Жесткость пружины $\text{k}$ аналогична величине, обратной емкости, $1/C$. Жесткость определяет возвращающую силу ($F = -kx$), а величина $1/C$ определяет напряжение на конденсаторе ($U_C = q/C$), которое стремится разрядить его.
- Скорость $v = x'$ аналогична силе тока $I = q'$.
- Квадрат собственной частоты механических колебаний $\omega_0^2 = k/m$ аналогичен квадрату собственной частоты электромагнитных колебаний $\omega_0^2 = 1/(LC)$.

Таким образом, несмотря на различную физическую природу, свободные незатухающие механические и электромагнитные колебания описываются идентичными по форме математическими уравнениями, что позволяет использовать аналогию между ними для изучения и анализа.

Ответ: Уравнения $x'' + (k/m)x = 0$ и $q'' + (1/LC)q = 0$ являются математически идентичными (линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка), что указывает на аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями. Физические величины, такие как смещение ($\text{x}$) и заряд ($\text{q}$), масса ($\text{m}$) и индуктивность ($\text{L}$), жесткость ($\text{k}$) и обратная емкость ($1/C$), являются аналогами друг друга.

2. На основе аналогии величин запишите законы изменения заряда на обкладках конденсатора.

Поскольку дифференциальное уравнение для электромагнитных колебаний $q'' + \frac{1}{LC}q = 0$ аналогично уравнению для механических гармонических колебаний, его решение также будет описывать гармонический процесс.

Решением этого уравнения является функция, описывающая закон изменения заряда на обкладках конденсатора со временем $\text{t}$. В общем виде этот закон записывается как:
$q(t) = q_m \cos(\omega_0 t + \phi_0)$

В этой формуле:
- $q(t)$ – мгновенное значение заряда в момент времени $\text{t}$.
- $q_m$ – амплитуда колебаний заряда (максимальное значение заряда на конденсаторе).
- $\omega_0$ – циклическая (угловая) частота свободных колебаний, которая для LC-контура определяется по формуле Томсона: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
- $(\omega_0 t + \phi_0)$ – фаза колебаний в момент времени $\text{t}$.
- $\phi_0$ – начальная фаза колебаний, которая зависит от начальных условий (состояния контура в момент $t=0$).

Это уравнение является законом изменения заряда на обкладках конденсатора в идеальном колебательном контуре. Оно показывает, что заряд изменяется по гармоническому закону (косинуса).

Ответ: Закон изменения заряда на обкладках конденсатора со временем имеет вид $q(t) = q_m \cos(\omega_0 t + \phi_0)$, где $q_m$ – амплитуда заряда, $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ – циклическая частота колебаний, а $\phi_0$ – начальная фаза.