Задание 6, страница 8 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 6

Докажите, что законы движения тела (3) и (4) являются решением уравнения колеблющегося тела (14): возьмите вторую производную от координаты тела формулы (3) и (4), считая, что амплитуда и частота колебаний остаются постоянными величинами.

Для доказательства того, что законы движения (3) и (4) являются решением уравнения колеблющегося тела (14), необходимо подставить эти законы в уравнение (14). Поскольку в задании не приведены сами формулы, мы будем использовать их стандартные формы из теории колебаний.

Уравнение (14) — это дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний: $x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$, где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $\text{t}$, $x''(t)$ — вторая производная смещения по времени (ускорение), а $\omega_0$ — циклическая частота колебаний.

Законы движения (3) и (4) — это решения этого уравнения, описывающие зависимость смещения от времени:

• Формула (3): $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)$
• Формула (4): $x(t) = A \sin(\omega_0 t + \phi_0)$

Здесь $\text{A}$ — амплитуда колебаний, $\omega_0$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза. По условию, амплитуда и частота являются постоянными величинами.

Произведем доказательство для каждой формулы отдельно.

Возьмем закон движения в виде $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)$.

Найдем первую производную от координаты по времени (скорость $v(t)$):
$x'(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega_0 t + \phi_0))$

Используя правило дифференцирования сложной функции (производная косинуса и производная аргумента), получим:
$x'(t) = A \cdot (-\sin(\omega_0 t + \phi_0)) \cdot \omega_0 = -A\omega_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)$

Теперь найдем вторую производную от координаты по времени (ускорение $a(t)$):
$x''(t) = \frac{d}{dt}(-A\omega_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0))$

Дифференцируя еще раз, получаем:
$x''(t) = -A\omega_0 \cdot \cos(\omega_0 t + \phi_0) \cdot \omega_0 = -A\omega_0^2 \cos(\omega_0 t + \phi_0)$

Теперь подставим выражения для $x(t)$ и $x''(t)$ в исходное дифференциальное уравнение (14):
$x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$
$(-A\omega_0^2 \cos(\omega_0 t + \phi_0)) + \omega_0^2 (A \cos(\omega_0 t + \phi_0)) = 0$

Упростим выражение:
$-A\omega_0^2 \cos(\omega_0 t + \phi_0) + A\omega_0^2 \cos(\omega_0 t + \phi_0) = 0$
$0 = 0$

Полученное тождество доказывает, что функция $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)$ является решением уравнения $x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$.

Ответ: Закон движения (3) вида $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi_0)$ является решением уравнения колеблющегося тела (14), так как при подстановке функции и ее второй производной в уравнение оно обращается в верное тождество $0 = 0$.

Возьмем закон движения в виде $x(t) = A \sin(\omega_0 t + \phi_0)$.

Найдем первую производную от координаты по времени (скорость $v(t)$):
$x'(t) = \frac{d}{dt}(A \sin(\omega_0 t + \phi_0))$

Используя правило дифференцирования сложной функции (производная синуса и производная аргумента), получим:
$x'(t) = A \cdot \cos(\omega_0 t + \phi_0) \cdot \omega_0 = A\omega_0 \cos(\omega_0 t + \phi_0)$

Теперь найдем вторую производную от координаты по времени (ускорение $a(t)$):
$x''(t) = \frac{d}{dt}(A\omega_0 \cos(\omega_0 t + \phi_0))$

Дифференцируя еще раз, получаем:
$x''(t) = A\omega_0 \cdot (-\sin(\omega_0 t + \phi_0)) \cdot \omega_0 = -A\omega_0^2 \sin(\omega_0 t + \phi_0)$

Теперь подставим выражения для $x(t)$ и $x''(t)$ в исходное дифференциальное уравнение (14):
$x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$
$(-A\omega_0^2 \sin(\omega_0 t + \phi_0)) + \omega_0^2 (A \sin(\omega_0 t + \phi_0)) = 0$

Упростим выражение:
$-A\omega_0^2 \sin(\omega_0 t + \phi_0) + A\omega_0^2 \sin(\omega_0 t + \phi_0) = 0$
$0 = 0$

Полученное тождество доказывает, что функция $x(t) = A \sin(\omega_0 t + \phi_0)$ является решением уравнения $x''(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$.

Ответ: Закон движения (4) вида $x(t) = A \sin(\omega_0 t + \phi_0)$ является решением уравнения колеблющегося тела (14), так как при подстановке функции и ее второй производной в уравнение оно обращается в верное тождество $0 = 0$.