Задание 8, страница 8 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 8

Запишите уравнения зависимости скорости и ускорения от времени для тела массой 2 кг, колебания которого совершаются по закону:

$x = 0.2 \cdot \cos \left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right)$

Дано:

Масса тела: $m = 2$ кг.

Уравнение колебаний: $x(t) = 0.2 \cdot \cos(\pi t + \frac{\pi}{4})$.

Данные представлены в системе СИ (координата $\text{x}$ в метрах, время $\text{t}$ в секундах).

Найти:

Уравнение зависимости скорости от времени $v(t)$.
Уравнение зависимости ускорения от времени $a(t)$.

Решение:

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени $\text{t}$.

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt} (0.2 \cdot \cos(\pi t + \frac{\pi}{4}))$

Используя правило дифференцирования сложной функции (производная от $\cos(u)$ равна $-\sin(u) \cdot u'$), получаем:

$v(t) = 0.2 \cdot (-\sin(\pi t + \frac{\pi}{4})) \cdot (\pi t + \frac{\pi}{4})' = 0.2 \cdot (-\sin(\pi t + \frac{\pi}{4})) \cdot \pi$

Следовательно, уравнение для скорости имеет вид:

$v(t) = -0.2\pi \sin(\pi t + \frac{\pi}{4})$

Ускорение тела $a(t)$ является первой производной от скорости $v(t)$ по времени $\text{t}$.

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} (-0.2\pi \sin(\pi t + \frac{\pi}{4}))$

Используя правило дифференцирования сложной функции (производная от $\sin(u)$ равна $\cos(u) \cdot u'$), получаем:

$a(t) = -0.2\pi \cdot \cos(\pi t + \frac{\pi}{4}) \cdot (\pi t + \frac{\pi}{4})' = -0.2\pi \cdot \cos(\pi t + \frac{\pi}{4}) \cdot \pi$

Следовательно, уравнение для ускорения имеет вид:

$a(t) = -0.2\pi^2 \cos(\pi t + \frac{\pi}{4})$

Заданная в условии масса тела $m=2$ кг является избыточным данным для нахождения уравнений скорости и ускорения.

Ответ:
уравнение зависимости скорости от времени: $v(t) = -0.2\pi \sin(\pi t + \frac{\pi}{4})$;
уравнение зависимости ускорения от времени: $a(t) = -0.2\pi^2 \cos(\pi t + \frac{\pi}{4})$.