Номер 3, страница 35 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Как взаимосвязаны величины, характеризующие цепь переменного тока.

Величины, характеризующие цепь переменного тока, тесно взаимосвязаны. Основными из них являются напряжение, сила тока, частота, сопротивление (активное и реактивное) и мощность. Их взаимосвязь описывается набором формул, обобщающих закон Ома для цепей переменного тока.

1. Мгновенные, амплитудные и действующие значения

Переменный синусоидальный ток и напряжение изменяются во времени по гармоническому закону:

$u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_u)$

$i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_i)$

где $u(t)$ и $i(t)$ — мгновенные значения напряжения и тока; $U_m$ и $I_m$ — амплитудные (максимальные) значения; $\omega$ — циклическая частота; $\phi_u$ и $\phi_i$ — начальные фазы.

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\text{f}$ (в Герцах) и периодом колебаний $\text{T}$ (в секундах) следующими соотношениями:

$\omega = 2\pi f$

$T = 1/f = 2\pi/\omega$

На практике чаще используют не амплитудные, а действующие (эффективные) значения тока $\text{I}$ и напряжения $\text{U}$. Именно их показывают амперметры и вольтметры переменного тока. Они связаны с амплитудными значениями так:

$U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$

$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

2. Закон Ома для цепи переменного тока и виды сопротивлений

В цепях переменного тока, кроме активного сопротивления $\text{R}$ (как в цепях постоянного тока), существуют реактивные сопротивления, создаваемые катушками индуктивности и конденсаторами.

• Активное сопротивление $\text{R}$ (резистор). На нём колебания тока и напряжения совпадают по фазе. Закон Ома имеет привычный вид: $I = U_R/R$.
• Индуктивное сопротивление $X_L$ (катушка индуктивности). Оно зависит от частоты тока и индуктивности катушки $\text{L}$. Напряжение на катушке опережает ток по фазе на $\pi/2$ (90°).
  $X_L = \omega L = 2\pi f L$
  Закон Ома для катушки: $I = U_L/X_L$.
• Ёмкостное сопротивление $X_C$ (конденсатор). Оно обратно пропорционально частоте тока и ёмкости конденсатора $\text{C}$. Ток на конденсаторе опережает напряжение по фазе на $\pi/2$ (90°).
  $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$
  Закон Ома для конденсатора: $I = U_C/X_C$.

Для всей цепи, содержащей все три типа элементов (RLC-цепь), вводится понятие полного сопротивления (импеданса) $\text{Z}$. Оно учитывает как активное, так и реактивные сопротивления. Так как сдвиги фаз на индуктивности и ёмкости противоположны, их действия частично компенсируются.

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$

Закон Ома для полной цепи переменного тока связывает действующие значения полного напряжения $\text{U}$ и тока $\text{I}$ через импеданс $\text{Z}$:

$I = \frac{U}{Z}$

Сдвиг фаз $\phi$ между общим напряжением и током в цепи определяется соотношением сопротивлений:

$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$

Если $X_L > X_C$, цепь носит индуктивный характер, и напряжение опережает ток ($ \phi > 0 $). Если $X_C > X_L$, цепь носит ёмкостный характер, и ток опережает напряжение ($ \phi < 0 $). При $X_L = X_C$ наступает резонанс: импеданс минимален ($Z=R$), ток в цепи максимален, а сдвиг фаз равен нулю ($\phi = 0$).

3. Мощность в цепи переменного тока

Из-за сдвига фаз между током и напряжением различают три вида мощности:

• Активная мощность $\text{P}$ — это полезная мощность, которая необратимо преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую). Она измеряется в ваттах (Вт).
  $P = U I \cos\phi$
• Реактивная мощность $\text{Q}$ — это мощность, которой обмениваются источник и реактивные элементы цепи (катушки, конденсаторы). Она характеризует энергию, колеблющуюся в цепи, и не совершает полезной работы. Измеряется в вольт-амперах реактивных (вар).
  $Q = U I \sin\phi$
• Полная мощность $\text{S}$ — это произведение действующих значений тока и напряжения. Она показывает полную нагрузку на источник тока. Измеряется в вольт-амперах (ВА).
  $S = U I$

Эти три мощности связаны между собой через "треугольник мощностей":

$S^2 = P^2 + Q^2$

Величина $\cos\phi$ называется коэффициентом мощности и показывает, какая доля полной мощности является активной (полезной).

Ответ: Величины в цепи переменного тока взаимосвязаны через обобщенный закон Ома $I = U/Z$, где полное сопротивление (импеданс) $\text{Z}$ зависит не только от активного сопротивления $\text{R}$, но и от частотно-зависимых реактивных сопротивлений катушки индуктивности ($X_L = \omega L$) и конденсатора ($X_C = 1/(\omega C)$). Эта зависимость приводит к сдвигу фаз $\phi$ между током и напряжением, который, в свою очередь, определяет соотношение между активной ($P = UI\cos\phi$), реактивной ($Q = UI\sin\phi$) и полной ($S = UI$) мощностями в цепи.