Номер 2, страница 35 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Напряжение на концах участка цепи переменного тока изменяется по синусоидальному закону. Начальная фаза $\phi_0 = \frac{\pi}{3}$, период колебаний $T = 0,02$ с. В момент времени $t = \frac{T}{24}$ напряжение $u = 5$ В. Определите: амплитуду напряжения, циклическую частоту, частоту тока. Запишите закон изменения напряжения с течением времени. ($\pi$)

Дано:

Начальная фаза $ \phi_0 = \frac{\pi}{3} $
Период колебаний $ T = 0,02 $ с
Момент времени $ t = \frac{T}{24} $
Мгновенное напряжение в момент времени t: $ u = 5 $ В

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Амплитуду напряжения $ U_m $
Циклическую частоту $ \omega $
Частоту тока $ \nu $
Закон изменения напряжения $ u(t) $

Решение:

Закон изменения напряжения переменного тока, изменяющегося по синусоидальному закону, в общем виде записывается как: $ u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0) $, где $ U_m $ — амплитуда напряжения, $ \omega $ — циклическая частота, $\text{t}$ — время, $ \phi_0 $ — начальная фаза.

амплитуду напряжения
Для нахождения амплитуды напряжения $ U_m $ подставим в уравнение известные значения $ u=5 $ В в момент времени $ t = \frac{T}{24} $. Для этого сначала определим циклическую частоту $ \omega $: $ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,02} = 100\pi $ рад/с. Теперь подставим все известные величины в закон изменения напряжения: $ 5 = U_m \sin\left(100\pi \cdot \frac{T}{24} + \frac{\pi}{3}\right) $ Так как $ T = 0,02 $ с, то $ t = \frac{0,02}{24} $ с. $ 5 = U_m \sin\left(100\pi \cdot \frac{0,02}{24} + \frac{\pi}{3}\right) $ Упростим выражение для фазы (аргумент синуса): $ \phi = 100\pi \cdot \frac{0,02}{24} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{24} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} $ Уравнение для нахождения амплитуды принимает вид: $ 5 = U_m \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) $ Отсюда выразим амплитуду $ U_m $: $ U_m = \frac{5}{\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)} $ Для вычисления $ \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) $ используем формулу синуса суммы: $ \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $ $ \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $ Подставим это значение в формулу для $ U_m $: $ U_m = \frac{5}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $ Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{6} - \sqrt{2}) $: $ U_m = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) $ В.

Ответ: амплитуда напряжения $ U_m = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) $ В.

циклическую частоту
Циклическая частота $ \omega $ связана с периодом $\text{T}$ соотношением: $ \omega = \frac{2\pi}{T} $ Подставим значение периода $ T = 0,02 $ с: $ \omega = \frac{2\pi}{0,02} = 100\pi $ рад/с.

Ответ: циклическая частота $ \omega = 100\pi $ рад/с.

частоту тока
Частота тока $ \nu $ в цепи переменного тока совпадает с частотой напряжения и является величиной, обратной периоду: $ \nu = \frac{1}{T} $ Подставим значение периода $ T = 0,02 $ с: $ \nu = \frac{1}{0,02} = 50 $ Гц.

Ответ: частота тока $ \nu = 50 $ Гц.

Запишите закон изменения напряжения с течением времени
Подставим найденные значения амплитуды $ U_m = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) $ В, циклической частоты $ \omega = 100\pi $ рад/с и заданную начальную фазу $ \phi_0 = \frac{\pi}{3} $ в общую формулу $ u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0) $.

Ответ: закон изменения напряжения $ u(t) = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin\left(100\pi t + \frac{\pi}{3}\right) $.