Задание 4, страница 38 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 4

1. Запишите уравнение зависимости напряжения от времени на катушке индуктивностью 0,1 Гн. Уравнение зависимости силы тока на катушке от времени имеет вид: $i = 2 \sin 100\pi t \text{ (A)}$.

2. Изобразите графически зависимости напряжения и силы тока от времени на катушке.

3. Объясните, почему сила тока на катушке отстает от напряжения?

1. Запишите уравнение зависимости напряжения от времени на катушке индуктивностью 0,1 Гн. Уравнение зависимости силы тока на катушке от времени имеет вид: $i = 2 \sin 100\pi t$ (А).

Дано:

Индуктивность катушки $L = 0,1$ Гн

Уравнение силы тока $i(t) = 2 \sin(100\pi t)$ А

Найти:

Уравнение напряжения $u(t)$

Решение:

Напряжение на катушке индуктивности (ЭДС самоиндукции) связано с изменением силы тока через нее по формуле:

$u(t) = L \frac{di}{dt}$

Для нахождения уравнения зависимости напряжения от времени необходимо найти производную от функции силы тока по времени:

$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(2 \sin(100\pi t)) = 2 \cdot \cos(100\pi t) \cdot (100\pi t)' = 2 \cdot 100\pi \cdot \cos(100\pi t) = 200\pi \cos(100\pi t)$

Теперь подставим найденную производную и значение индуктивности в формулу для напряжения:

$u(t) = 0,1 \cdot 200\pi \cos(100\pi t) = 20\pi \cos(100\pi t)$

Амплитуда напряжения составляет $U_m = 20\pi \approx 62,8$ В. Уравнение можно также записать через синус, используя тригонометрическое тождество $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$:

$u(t) = 20\pi \sin(100\pi t + \frac{\pi}{2})$

Эта запись наглядно показывает, что колебания напряжения опережают колебания тока по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: Уравнение зависимости напряжения от времени на катушке имеет вид $u(t) = 20\pi \cos(100\pi t)$ (В) или $u(t) = 20\pi \sin(100\pi t + \frac{\pi}{2})$ (В).

2. Изобразите графически зависимости напряжения и силы тока от времени на катушке.

Решение:

Для построения графиков определим основные параметры колебаний.

Для силы тока $i(t) = 2 \sin(100\pi t)$:

Амплитуда $I_m = 2$ А.

Циклическая частота $\omega = 100\pi$ рад/с.

Период $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50} = 0,02$ с.

Для напряжения $u(t) = 20\pi \cos(100\pi t)$:

Амплитуда $U_m = 20\pi \approx 62,8$ В.

Циклическая частота и период такие же, как и у силы тока.

График силы тока $i(t)$ представляет собой синусоиду. Он начинается из нуля, достигает максимума (+2 А) в момент времени $t = T/4 = 0,005$ с, проходит через ноль в $t = T/2 = 0,01$ с, достигает минимума (-2 А) в $t = 3T/4 = 0,015$ с и возвращается в ноль в $t = T = 0,02$ с.

График напряжения $u(t)$ представляет собой косинусоиду. Он начинается из своего максимального значения ($+20\pi$ В) в момент времени $t = 0$, проходит через ноль в $t = T/4 = 0,005$ с, достигает минимума ($-20\pi$ В) в $t = T/2 = 0,01$ с, снова проходит через ноль в $t = 3T/4 = 0,015$ с и возвращается к максимуму в $t = T = 0,02$ с.

Сравнивая графики, мы видим, что колебания напряжения опережают по фазе колебания силы тока на $\frac{\pi}{2}$ радиан (или на четверть периода, $T/4$). Это означает, что напряжение достигает своего максимума, когда ток только начинает расти от нуля. Когда ток достигает своего максимума, напряжение уже равно нулю и начинает становиться отрицательным.

Ответ: Графики представляют собой синусоиду для силы тока и косинусоиду для напряжения с одинаковым периодом $T = 0,02$ с. Амплитуда тока $I_m = 2$ А, амплитуда напряжения $U_m = 20\pi$ В. График напряжения сдвинут влево относительно графика силы тока на четверть периода ($T/4 = 0,005$ с), что соответствует опережению по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

3. Объясните, почему сила тока на катушке отстает от напряжения?

Решение:

Отставание силы тока от напряжения в катушке индуктивности обусловлено явлением электромагнитной самоиндукции. Это явление заключается в возникновении ЭДС индукции в проводящем контуре (катушке) при изменении протекающего через него тока.

1. Когда к катушке прикладывается переменное напряжение, оно стремится создать в ней переменный ток.

2. Любое изменение тока в катушке приводит к изменению магнитного потока, который этот ток создает. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, изменяющийся магнитный поток индуцирует в катушке ЭДС (электродвижущую силу) самоиндукции.

3. Согласно правилу Ленца, возникающая ЭДС самоиндукции всегда направлена так, чтобы противодействовать причине, её вызывающей, то есть изменению тока. Если ток в цепи возрастает, ЭДС самоиндукции направлена против тока, замедляя его рост. Если ток убывает, ЭДС самоиндукции направлена так, чтобы поддержать ток, замедляя его убывание.

4. В цепи переменного тока напряжение и ток постоянно меняются. Из-за "инертности", создаваемой ЭДС самоиндукции, ток не может мгновенно следовать за изменениями приложенного напряжения. Требуется некоторое время, чтобы преодолеть противодействие ЭДС самоиндукции и изменить силу тока. В результате этих процессов сила тока достигает своих максимальных и минимальных значений позже, чем напряжение. В идеальной катушке (с нулевым активным сопротивлением) это отставание по фазе составляет ровно четверть периода, или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: Сила тока на катушке отстает от напряжения из-за явления самоиндукции. Возникающая в катушке ЭДС самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда противодействует изменению тока, что приводит к "инертности" тока и его отставанию по фазе от приложенного напряжения.