Задание 7, страница 39 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 7

Изобразите график зависимости реактивного сопротивления конденсатора емкостью 10 мкФ от частоты. На каких частотах — высоких или низких — реактивное сопротивление конденсатора значительно возрастает?

Дано:

Емкость конденсатора, $C = 10 \text{ мкФ}$

Перевод в систему СИ:

$C = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

Найти:

1. График зависимости реактивного сопротивления конденсатора от частоты $X_C(f)$.

2. Определить, на каких частотах (высоких или низких) реактивное сопротивление конденсатора значительно возрастает.

Решение:

Реактивное (емкостное) сопротивление конденсатора в цепи переменного тока определяется по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

где $\omega$ – циклическая частота, $\text{C}$ – емкость конденсатора.

Циклическая частота связана с линейной частотой $\text{f}$ соотношением $\omega = 2\pi f$. Подставив это в формулу для сопротивления, получим зависимость от частоты $\text{f}$:

$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$

Из этой формулы видно, что реактивное сопротивление конденсатора $X_C$ обратно пропорционально частоте переменного тока $\text{f}$.

1. Построение графика зависимости $X_C(f)$

Зависимость вида $y = \frac{k}{x}$, где $k = \frac{1}{2\pi C}$ – постоянный коэффициент, является гиперболой. График будет расположен в первом координатном квадранте, так как физические величины $\text{f}$ и $X_C$ не могут быть отрицательными.

Для наглядности рассчитаем значения $X_C$ для нескольких частот, используя данную емкость $C = 10^{-5} \text{ Ф}$:

• при $f = 10 \text{ Гц}: X_C = \frac{1}{2\pi \cdot 10 \cdot 10^{-5}} \approx 1592 \text{ Ом}$
• при $f = 50 \text{ Гц}: X_C = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \cdot 10^{-5}} \approx 318 \text{ Ом}$
• при $f = 100 \text{ Гц}: X_C = \frac{1}{2\pi \cdot 100 \cdot 10^{-5}} \approx 159 \text{ Ом}$
• при $f = 1000 \text{ Гц} (1 \text{ кГц}): X_C = \frac{1}{2\pi \cdot 1000 \cdot 10^{-5}} \approx 15.9 \text{ Ом}$

График будет представлять собой кривую (гиперболу), которая начинается от очень больших значений сопротивления при частотах, близких к нулю, и асимптотически стремится к нулю при увеличении частоты. По оси абсцисс откладывается частота $\text{f}$ в герцах (Гц), а по оси ординат – реактивное сопротивление $X_C$ в омах (Ом).

2. Анализ зависимости $X_C$ от частоты

Как следует из формулы $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ и приведенных расчетов, чем меньше знаменатель дроби, тем больше значение $X_C$. Знаменатель $2\pi f C$ становится меньше при уменьшении частоты $\text{f}$.

Следовательно, реактивное сопротивление конденсатора значительно возрастает на низких частотах. В предельном случае, когда частота стремится к нулю ($f \to 0$, что соответствует постоянному току), реактивное сопротивление стремится к бесконечности ($X_C \to \infty$). Это означает, что для постоянного тока конденсатор представляет собой разрыв в цепи.

Ответ:

Графиком зависимости реактивного сопротивления конденсатора от частоты является гипербола, показывающая, что сопротивление уменьшается с ростом частоты. Реактивное сопротивление конденсатора значительно возрастает на низких частотах.