Номер 5, страница 40 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5. В цепь переменного тока с частотой 100 Гц подключают конденсатор емкостью 10 мкФ, затем вместо конденсатора подключают катушку индуктивности. Чему равна индуктивность катушки, если индуктивное и емкостное сопротивления цепи равны?

Дано:

Частота переменного тока, $f = 100$ Гц

Емкость конденсатора, $C = 10$ мкФ

Индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению, $X_L = X_C$

Перевод в СИ:

$C = 10 \text{ мкФ} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

Найти:

Индуктивность катушки, $\text{L}$

Решение:

Емкостное сопротивление $X_C$ в цепи переменного тока определяется по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

где $\omega$ - циклическая (угловая) частота, а $\text{C}$ - емкость конденсатора. Циклическая частота связана с линейной частотой $\text{f}$ соотношением $\omega = 2\pi f$.

Таким образом, формула для емкостного сопротивления имеет вид:

$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$

Индуктивное сопротивление $X_L$ в цепи переменного тока определяется по формуле:

$X_L = \omega L = 2\pi f L$

где $\text{L}$ - индуктивность катушки.

По условию задачи, индуктивное и емкостное сопротивления равны, так как они создаются в цепи с одной и той же частотой тока:

$X_L = X_C$

Подставим формулы для сопротивлений в это равенство:

$2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$

Выразим из этого уравнения искомую индуктивность $\text{L}$:

$L = \frac{1}{(2\pi f)^2 C} = \frac{1}{4\pi^2 f^2 C}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$L = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (100 \text{ Гц})^2 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}}$

$L = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10000 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^4 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^{-1}} = \frac{10}{4\pi^2} = \frac{5}{2\pi^2}$

Рассчитаем приближенное значение, приняв $\pi^2 \approx 9.87$:

$L \approx \frac{5}{2 \cdot 9.87} \approx \frac{5}{19.74} \approx 0.2533$ Гн

Округлим результат до сотых.

Ответ: индуктивность катушки равна примерно $0.25$ Гн.