Задание 2, страница 42 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

1. По рисунку 47 определите сдвиг фаз между колебаниями заряда, напряжения, силы тока и ЭДС.

2. Запишите законы изменения заряда, напряжения, силы тока и ЭДС с использованием функции cos и с учетом сдвига фаз.

Рис. 47. Векторная диаграмма величин, характеризующих электромагнитные колебания

Векторная диаграмма на рисунке 47 иллюстрирует соотношение фаз между основными величинами, характеризующими свободные электромагнитные колебания в идеальном LC-контуре (контуре, состоящем из катушки индуктивности L и конденсатора C). Векторы на диаграмме представляют амплитудные значения заряда на конденсаторе ($q_m$), напряжения на конденсаторе ($U_m$), силы тока в контуре ($I_m$) и ЭДС самоиндукции в катушке ($\mathcal{E}_m$). Предполагается, что векторы вращаются против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega$, и угол вектора относительно горизонтальной оси соответствует начальной фазе колебания.

1. По рисунку 47 определите сдвиг фаз между колебаниями заряда, напряжения, силы тока и ЭДС.

Анализируя взаимное расположение векторов на диаграмме, можно определить сдвиги фаз:
- Сдвиг фаз между зарядом ($\text{q}$) и напряжением ($\text{U}$): Векторы $q_m$ и $U_m$ сонаправлены. Это означает, что колебания заряда на конденсаторе и напряжения на нем происходят в одной фазе. Сдвиг фаз равен 0. Это соответствует физической связи $u = q/C$.
- Сдвиг фаз между напряжением ($\text{U}$) и силой тока ($\text{I}$): Вектор $I_m$ опережает вектор $U_m$ на угол $\frac{\pi}{2}$ (повернут на $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки). Это означает, что колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на $\frac{\pi}{2}$. Это следует из того, что ток является производной от заряда по времени ($i = q'$), а напряжение на конденсаторе пропорционально заряду.
- Сдвиг фаз между напряжением ($\text{U}$) и ЭДС ($\mathcal{E}$): Векторы $U_m$ и $\mathcal{E}_m$ направлены в противоположные стороны. Угол между ними составляет $\pi$ радиан. Это означает, что колебания напряжения на конденсаторе и ЭДС самоиндукции в катушке происходят в противофазе. Это следует из второго правила Кирхгофа для LC-контура: $u_C + u_L = 0$, где напряжение на катушке $u_L$ и есть ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}$.
- Сдвиг фаз между силой тока ($\text{I}$) и ЭДС ($\mathcal{E}$): Поскольку сила тока $\text{I}$ опережает напряжение $\text{U}$ на $\frac{\pi}{2}$, а ЭДС $\mathcal{E}$ опережает напряжение $\text{U}$ на $\pi$, то разность фаз между ЭДС и силой тока составляет $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, колебания ЭДС опережают по фазе колебания силы тока на $\frac{\pi}{2}$.
- Сдвиг фаз между зарядом ($\text{q}$) и силой тока ($\text{I}$): Так как заряд и напряжение синфазны, то сдвиг фаз между зарядом и током такой же, как и между напряжением и током. Сила тока опережает заряд на $\frac{\pi}{2}$.
- Сдвиг фаз между зарядом ($\text{q}$) и ЭДС ($\mathcal{E}$): Так как заряд и напряжение синфазны, то сдвиг фаз между зарядом и ЭДС такой же, как и между напряжением и ЭДС. Колебания ЭДС и заряда находятся в противофазе (сдвиг фаз $\pi$).

Ответ:
- Сдвиг фаз между зарядом и напряжением равен 0 (колебания синфазны).
- Колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда и напряжения на $\frac{\pi}{2}$.
- Колебания ЭДС опережают по фазе колебания силы тока на $\frac{\pi}{2}$.
- Колебания ЭДС и колебания заряда (а также напряжения) находятся в противофазе (сдвиг фаз равен $\pi$).

2. Запишите законы изменения заряда, напряжения, силы тока и ЭДС с использованием функции cos и с учетом сдвига фаз.

Законы изменения величин можно записать в общем виде $A(t) = A_m \cos(\omega t + \psi_0)$, где $A_m$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, а $\psi_0$ — начальная фаза. На диаграмме начальная фаза колебаний заряда обозначена углом $\varphi$. Используем это как основу для записи уравнений.

- Закон изменения заряда:
Начальная фаза колебаний заряда равна $\varphi$.
$q(t) = q_m \cos(\omega t + \varphi)$

- Закон изменения напряжения:
Колебания напряжения синфазны с колебаниями заряда, следовательно, их начальная фаза также равна $\varphi$.
$u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)$

- Закон изменения силы тока:
Колебания силы тока опережают колебания заряда на $\frac{\pi}{2}$, поэтому начальная фаза для силы тока будет $\varphi + \frac{\pi}{2}$.
$i(t) = I_m \cos(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})$

- Закон изменения ЭДС:
Колебания ЭДС находятся в противофазе с колебаниями заряда, то есть их фаза отличается на $\pi$. Начальная фаза для ЭДС будет $\varphi + \pi$.
$\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_m \cos(\omega t + \varphi + \pi)$

Ответ:
Законы изменения величин с учетом фаз, показанных на диаграмме:
$q(t) = q_m \cos(\omega t + \varphi)$
$u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)$
$i(t) = I_m \cos(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})$
$\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_m \cos(\omega t + \varphi + \pi)$