Задание 6, страница 39 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 6

1. Запишите уравнение зависимости силы тока от времени на конденсаторе емкостью 10 нФ. Уравнение зависимости напряжения на конденсаторе от времени имеет вид: $u = 308 \sin 100\pi t \text{ (В)}$

2. Изобразите графически зависимости напряжения и силы тока от времени на конденсаторе.

3. Объясните, почему сила тока на конденсаторе опережает напряжение.

1. Дано:

Емкость конденсатора: $C = 10 \text{ нФ}$
Уравнение зависимости напряжения от времени: $u(t) = 308 \sin(100\pi t) \text{ (В)}$

Перевод в систему СИ:
$C = 10 \text{ нФ} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 10^{-8} \text{ Ф}$

Найти:

Уравнение зависимости силы тока от времени $i(t)$.

Решение:

Заряд на конденсаторе $\text{q}$ связан с напряжением $\text{u}$ и емкостью $\text{C}$ формулой:
$q(t) = C \cdot u(t)$
Сила тока $\text{i}$ по определению является производной заряда по времени:
$i(t) = q'(t) = \frac{dq}{dt}$
Подставим выражение для заряда:
$i(t) = (C \cdot u(t))' = C \cdot u'(t)$
Найдем производную от функции напряжения $u(t) = 308 \sin(100\pi t)$:
$u'(t) = (308 \sin(100\pi t))' = 308 \cdot \cos(100\pi t) \cdot (100\pi t)' = 308 \cdot 100\pi \cdot \cos(100\pi t)$
Теперь можем найти уравнение для силы тока:
$i(t) = C \cdot u'(t) = 10^{-8} \text{ Ф} \cdot 308 \cdot 100\pi \cdot \cos(100\pi t) \text{ В/с}$
$i(t) = 308 \cdot 10^{-6} \pi \cdot \cos(100\pi t) \text{ (А)}$
Это выражение для силы тока. Амплитудное значение силы тока $I_m$ равно:
$I_m = 308 \cdot 10^{-6} \pi \approx 0.000308 \cdot 3.14159 \approx 0.0009676 \text{ А} \approx 0.97 \text{ мА}$
Для сравнения фаз представим косинус через синус, используя тригонометрическую формулу $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$:
$i(t) = I_m \cos(100\pi t) = I_m \sin(100\pi t + \frac{\pi}{2})$
Подставив численное значение амплитуды, получаем окончательное уравнение.

Ответ: Уравнение зависимости силы тока от времени имеет вид $i(t) \approx 0.00097 \sin(100\pi t + \frac{\pi}{2}) \text{ (А)}$ или, в миллиамперах, $i(t) \approx 0.97 \sin(100\pi t + \frac{\pi}{2}) \text{ (мА)}$.

2. Для построения графиков определим основные параметры колебаний.
Из уравнений $u(t) = 308 \sin(100\pi t)$ и $i(t) = I_m \sin(100\pi t + \frac{\pi}{2})$ видно, что и напряжение, и сила тока изменяются по гармоническому закону с одинаковой циклической частотой $\omega = 100\pi \text{ рад/с}$.
Период колебаний $\text{T}$ для обоих величин будет одинаковым:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi} = 0.02 \text{ с}$.
Амплитуда напряжения: $U_m = 308 \text{ В}$.
Амплитуда силы тока: $I_m \approx 0.97 \text{ мА}$.

Графики зависимостей $u(t)$ и $i(t)$ представляют собой синусоиды с периодом $T = 0.02 \text{ с}$.

• График напряжения $u(t)$ является синусоидой, которая начинается из нуля при $t=0$, достигает максимума $308 \text{ В}$ при $t = T/4 = 0.005 \text{ с}$, снова проходит через ноль при $t = T/2 = 0.01 \text{ с}$ и так далее.
• График силы тока $i(t)$ также является синусоидой, но со сдвигом фазы на $+\frac{\pi}{2}$ относительно напряжения. Это означает, что график тока опережает график напряжения на четверть периода ($T/4$). При $t=0$, когда напряжение равно нулю, сила тока уже достигает своего максимального значения $I_m \approx 0.97 \text{ мА}$. Когда напряжение достигает максимума (при $t=0.005 \text{ с}$), сила тока становится равной нулю.

Ответ: Графики представляют собой две синусоиды с одинаковым периодом $T=0.02 \text{ с}$. График напряжения $u(t)$ имеет амплитуду $308 \text{ В}$ и в начальный момент времени $t=0$ равен нулю. График силы тока $i(t)$ имеет амплитуду около $0.97 \text{ мА}$ и сдвинут по фазе относительно напряжения на $+\frac{\pi}{2}$, то есть опережает его на четверть периода и в момент $t=0$ имеет максимальное значение.

3. Сила тока на конденсаторе опережает напряжение по физическим причинам, связанным с процессом его зарядки и разрядки.
Связь между током $\text{i}$ и напряжением $\text{u}$ на конденсаторе выражается формулой, полученной в пункте 1:
$i(t) = C \cdot \frac{du}{dt}$
Из этой формулы видно, что мгновенное значение силы тока в цепи с конденсатором прямо пропорционально скорости изменения напряжения на обкладках конденсатора.
Рассмотрим, как это проявляется при синусоидальном напряжении:
1. Когда напряжение на конденсаторе проходит через ноль ($u=0$), его скорость изменения (крутизна графика $u(t)$) максимальна. Согласно формуле, в этот момент сила тока должна быть максимальной (или минимальной, в зависимости от знака производной).
2. Когда напряжение на конденсаторе достигает своего максимального (амплитудного) значения ($u=U_m$), конденсатор на мгновение прекращает заряжаться, и скорость изменения напряжения становится равной нулю ($\frac{du}{dt} = 0$). В этот момент сила тока в цепи также становится равной нулю.

Таким образом, пик силы тока приходится на момент, когда напряжение равно нулю, а нулевое значение тока — на момент, когда напряжение максимально. Это означает, что колебания силы тока опережают по времени колебания напряжения на четверть периода, что соответствует сдвигу фаз на $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: Сила тока на конденсаторе пропорциональна скорости изменения напряжения на нем ($i=C \cdot du/dt$). При гармонических колебаниях скорость изменения напряжения максимальна, когда само напряжение проходит через ноль, и равна нулю, когда напряжение достигает пика. Поэтому ток достигает своего максимума на четверть периода раньше, чем напряжение, то есть опережает его по фазе на $\frac{\pi}{2}$.