Номер 3, страница 35 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3*. Сила тока в цепи изменяется со временем по закону $i = 4 \sin \left(314t + \frac{\pi}{6}\right)$. Определите: действующее значение силы тока его начальную фазу и период колебаний тока чему будет равна сила тока в моменты времени: $t_1 = 0,01 \text{ с}$, $t_2 = 0,04 \text{ с}$?

Дано:

Закон изменения силы тока: $i = 4\sin(314t + \frac{\pi}{6})$

Моменты времени: $t_1 = 0,01$ с, $t_2 = 0,04$ с

Найти:

$I_д$ – действующее значение силы тока

$\varphi_0$ – начальная фаза

$\text{T}$ – период колебаний тока

$i(t_1)$, $i(t_2)$ – сила тока в заданные моменты времени

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний силы тока: $i(t) = I_m \sin(\omega t + \varphi_0)$, где $I_m$ – амплитудное значение силы тока, $\omega$ – циклическая частота, $\varphi_0$ – начальная фаза колебаний.

Сравнивая общее уравнение с данным в условии задачи $i = 4\sin(314t + \frac{\pi}{6})$, находим параметры колебаний:

Амплитудное значение силы тока $I_m = 4$ А.

Циклическая частота $\omega = 314$ рад/с. В задачах по электротехнике это значение часто является приближением для $100\pi$ рад/с, так как $\pi \approx 3,14$.

Начальная фаза $\varphi_0 = \frac{\pi}{6}$ рад.

Теперь определим искомые величины.

Действующее значение силы тока

Действующее (эффективное) значение силы переменного тока связано с его амплитудным значением $I_m$ по формуле:

$I_д = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

Подставляя значение амплитуды $I_m = 4$ А, получаем:

$I_д = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2,83$ А.

Ответ: действующее значение силы тока равно $2\sqrt{2}$ А, что приблизительно составляет 2,83 А.

Начальная фаза

Начальная фаза колебаний $\varphi_0$ — это слагаемое в аргументе синуса, не зависящее от времени. Из уравнения $i = 4\sin(314t + \frac{\pi}{6})$ напрямую следует, что:

$\varphi_0 = \frac{\pi}{6}$ рад.

Ответ: начальная фаза колебаний тока равна $\frac{\pi}{6}$ рад.

Период колебаний тока

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим значение циклической частоты $\omega = 314$ рад/с. Для удобства расчетов воспользуемся приближением $\omega \approx 100\pi$ рад/с.

$T \approx \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{2}{100} = 0,02$ с.

Ответ: период колебаний тока составляет приблизительно 0,02 с.

Чему будет равна сила тока в моменты времени: $t_1 = 0,01$ с, $t_2 = 0,04$ с?

Для нахождения мгновенных значений силы тока подставим заданные моменты времени в исходное уравнение $i(t) = 4\sin(314t + \frac{\pi}{6})$.

1. В момент времени $t_1 = 0,01$ с:

$i(t_1) = 4\sin(314 \cdot 0,01 + \frac{\pi}{6}) = 4\sin(3,14 + \frac{\pi}{6})$

Используя приближение $3,14 \approx \pi$, получаем:

$i(t_1) \approx 4\sin(\pi + \frac{\pi}{6})$

Согласно формуле приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$:

$i(t_1) = -4\sin(\frac{\pi}{6}) = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2$ А.

2. В момент времени $t_2 = 0,04$ с:

$i(t_2) = 4\sin(314 \cdot 0,04 + \frac{\pi}{6}) = 4\sin(12,56 + \frac{\pi}{6})$

Используя приближение $12,56 \approx 4\pi$, получаем:

$i(t_2) \approx 4\sin(4\pi + \frac{\pi}{6})$

Учитывая периодичность функции синус ($\sin(2k\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$, где $\text{k}$ - целое число):

$i(t_2) = 4\sin(\frac{\pi}{6}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ А.

Ответ: в момент времени $t_1 = 0,01$ с сила тока будет равна -2 А; в момент времени $t_2 = 0,04$ с сила тока будет равна 2 А.