Номер 3, страница 92 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Катушка приемного контура радиоприемника имеет индуктивность $L = 1\ \mu\text{Гн}$. Какова емкость конденсатора, если сигнал принимается от станции, работающей на длине волны $\lambda = 100\ \text{м}$?

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 1$ мкГн

Длина волны, $λ = 100$ м

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$L = 1 \cdot 10^{-6}$ Гн

Найти:

Емкость конденсатора, $\text{C}$

Решение:

Приемный контур радиоприемника настраивается в резонанс с частотой принимаемой электромагнитной волны. Условие резонанса заключается в том, что собственная частота колебаний контура должна быть равна частоте волны. Это также означает, что период собственных колебаний контура $\text{T}$ должен быть равен периоду электромагнитной волны.

Период собственных колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Длина волны $λ$ связана с периодом $\text{T}$ и скоростью распространения волны $\text{c}$ (скоростью света) соотношением:

$λ = cT$

Из этого соотношения выразим период волны:

$T = \frac{λ}{c}$

Приравняем выражения для периода, чтобы найти условия для резонанса:

$2\pi\sqrt{LC} = \frac{λ}{c}$

Наша цель — найти емкость конденсатора $\text{C}$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\pi\sqrt{LC})^2 = (\frac{λ}{c})^2$

$4\pi^2LC = \frac{λ^2}{c^2}$

Теперь выразим емкость $\text{C}$:

$C = \frac{λ^2}{4\pi^2c^2L}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$C = \frac{(100 \text{ м})^2}{4\pi^2(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2(1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн})} = \frac{10000}{4\pi^2 \cdot 9 \cdot 10^{16} \cdot 10^{-6}} = \frac{10^4}{36\pi^2 \cdot 10^{10}}$

$C = \frac{1}{36\pi^2} \cdot 10^{4-10} = \frac{1}{36\pi^2} \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Выполним вычисления, принимая $\pi^2 \approx 9.87$:

$C \approx \frac{1}{36 \cdot 9.87} \cdot 10^{-6} \approx \frac{1}{355.32} \cdot 10^{-6} \approx 0.002814 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Переведем результат в более удобные единицы. $1 \text{ нФ} = 10^{-9} \text{ Ф}$, $1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$.

$C \approx 2.814 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 2.814 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 2.814 \text{ нФ} \approx 2814 \text{ пФ}$

Округлим до двух значащих цифр.

$C \approx 2.8 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

Ответ: емкость конденсатора должна быть примерно $2.8 \cdot 10^{-9}$ Ф или $2.8$ нФ.